Calculer les racines cubiques à la main

Vidéo: Comprendre les racines cubiques et savoir jongler entre racines et puissances facilement !

Contenu

Avancer d'un pas
Partie 1 sur 3: Élaboration d'un exemple de devoir
Partie 2 sur 3: Trouver la racine cubique par estimation répétée
Conseils
Mises en garde
Nécessités

À l'aide d'une calculatrice, calculer la racine cubique de n'importe quel nombre ne consiste qu'à appuyer sur quelques touches. Mais peut-être que vous n'avez pas de calculatrice ou que vous voulez impressionner vos amis avec votre capacité à travailler à main levée sur une racine cubique. Il existe une méthode qui semble un peu difficile à première vue, mais qui fonctionne très simplement avec un peu de pratique. Il est utile d'avoir des connaissances prêtes dans le domaine des compétences arithmétiques et du calcul des nombres cubiques.

Avancer d'un pas

Partie 1 sur 3: Élaboration d'un exemple de devoir

Rédigez le problème. La résolution de la racine cubique d'un nombre ressemblera à la résolution d'une longue division, avec quelques différences ici et là. La première étape consiste à écrire correctement la déclaration.
- Notez le nombre dont vous souhaitez déterminer la racine cubique. Écrivez les nombres par groupes de trois, la virgule étant le point de départ. Dans cet exemple, vous allez déterminer la racine cubique de 10. Écrivez ceci comme 10,000000. Les zéros sont nécessaires pour l'exactitude de la réponse.
- Dessinez une racine carrée cubique sur le nombre. Cela sert le même but que la ligne en division longue. La seule différence est la forme du symbole.
- Placez une virgule au-dessus de la ligne, directement au-dessus de la virgule dans le numéro d'origine.
Connaissez les cubes des unités. Vous allez les utiliser dans vos calculs. Il concerne les tiers pouvoirs suivants:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Déterminez le premier chiffre de votre réponse. Sélectionnez un nombre qui, pour le cube, donne le plus grand résultat possible qui est inférieur au premier ensemble de trois nombres.
  - Dans cet exemple, le premier ensemble de trois nombres multipliés ensemble est égal à 10. Trouvez le plus grand cube qui est inférieur à 10. C'est-à-dire 8 et sa racine cubique est 2.
  - Écrivez le nombre 2 au-dessus de la racine carrée, au-dessus du nombre 10. Notez la valeur de 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Effectuez la configuration pour le chiffre suivant. Écrivez le groupe suivant de trois nombres dans le reste et tracez une courte ligne verticale à gauche du nombre résultant. Ce sera le nombre que nous utilisons pour déterminer le chiffre suivant dans la solution de votre racine cubique. Dans cet exemple, cela devient 2000, qui est créé à partir du reste 2 de la somme de soustraction précédente, avec le groupe de trois zéros que vous avez décroché.
    - À gauche de la ligne verticale, écrivez la solution du diviseur suivant, comme la somme de trois nombres distincts. Indiquez les espaces vides pour ces nombres, en soulignant trois espaces vides avec des signes plus en dessous.
  - Trouvez le début du prochain diviseur. Pour la première partie du diviseur, écrivez trois cents fois le carré de ce qui est au-dessus du signe de la racine carrée. Dans ce cas, c'est 2; 2 ^ 2 vaut 4 et 4 * 300 = 1200. Alors écrivez votre 1200 dans le premier espace vide. Le diviseur pour cette étape de la solution devient 1200, plus quelque chose d'autre que vous calculerez dans un instant.
  - Trouvez le numéro suivant dans votre racine cubique. Trouvez le chiffre suivant de votre solution en sélectionnant ce que vous pouvez multiplier par le diviseur (1200 et autre chose), puis soustrayez-le du reste de 2000. Cela ne peut être que 1, car 2 fois 1200 égale 2400, ce qui est supérieur à 2000. Écrivez le nombre 1 dans l'espace suivant au-dessus du signe de la racine carrée.
  - Trouvez le reste du diviseur. Le diviseur dans cette étape de la solution se compose de trois parties. La première partie est le 1200 que vous avez déjà. Vous devrez maintenant ajouter deux autres termes pour compléter le diviseur.
    - Calculez maintenant 3 fois 10 fois chacun des deux chiffres de votre solution au-dessus du signe de la racine carrée. Pour cet exercice simple, cela signifie 3 * 10 * 2 * 1, ce qui équivaut à 60. Ajoutez ceci aux 1200 que vous aviez déjà et vous obtenez 1260.
    - Enfin, ajoutez le carré du dernier chiffre. Dans cet exemple, il vaut 1; et 1 ^ 2 vaut toujours 1. Le diviseur total est donc 1200 + 60 + 1, ou 1261. Écrivez ceci à gauche de la ligne verticale.
  - Multipliez et soustrayez. Arrondissez cette partie de la solution en multipliant le dernier chiffre de votre solution - dans ce cas, le nombre 1 - par le diviseur que vous venez de calculer (1261). 1 * 1261 = 1261. Écrivez ceci sous 2000 et soustrayez 1261 pour obtenir 739.
  - Décidez d'aller plus loin pour une réponse plus précise. Après avoir terminé la soustraction de chaque étape, vous devriez vérifier si votre réponse est suffisamment exacte. Pour la racine cubique de 10, après la première somme moins, la racine cubique n'était que de 2, ce qui n'est pas vraiment exact. Maintenant, après le deuxième tour, la solution est 2,1.
    - Vous pouvez vérifier la précision de ce résultat à l'aide du cube: 2.1 * 2.1 * 2.1. Le résultat est 9,261.
    - Si vous pensez que le résultat est suffisamment exact, vous pouvez vous arrêter. Si vous voulez une réponse plus précise, vous devez passer par un autre tour.
  - Déterminez le diviseur pour le prochain tour. Dans ce cas, pour plus de pratique et une réponse plus précise, répétez les étapes pour un autre tour, comme suit:
    - Apportez le prochain groupe de trois nombres. Dans ce cas, ce sont trois zéros, qui viennent après le reste 739 pour former 739 000.
    - Commencez le diviseur par 300 fois le carré du nombre actuellement au-dessus du signe de la racine carrée. C'est 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Multipliez le diviseur par le résultat. Après avoir calculé le diviseur dans ce prochain tour et élargi votre solution avec un chiffre supplémentaire, procédez comme suit:
      - Multipliez le diviseur par le dernier chiffre de votre solution. 135 475 * 5 = 677 375.
      - Soustraire. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Vérifiez si la solution 2.15 est suffisamment exacte. Calculez le cube et vous obtiendrez ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Écrivez votre réponse finale. Le résultat au-dessus de la racine carrée est la racine cubique, avec une précision de trois chiffres significatifs. Dans cet exemple, la racine cubique de 10 est égale à 2,15. Vérifiez ceci en calculant 2,15 ^ 3 = 9,94 qui peut être arrondi à 10. Si vous avez besoin d'une réponse plus précise, continuez à faire ceci jusqu'à ce que vous soyez satisfait.

Partie 2 sur 3: Trouver la racine cubique par estimation répétée

Utilisez des nombres cubes pour définir les limites supérieure et inférieure. Lorsqu'on vous demande la racine cubique d'un nombre donné, commencez par choisir un cube qui s'en rapproche le plus possible, sans être supérieur à votre nombre cible.
- Par exemple, si vous voulez trouver la racine cubique de 600, n'oubliez pas (ou utilisez un cube cube) que 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Estimez le chiffre suivant. Vous supprimez le premier chiffre grâce à votre connaissance de certains nombres cubiques. Pour le chiffre suivant, estimez un nombre entre 0 et 9 en fonction de l'endroit où votre nombre cible se situe entre les deux nombres limites.
  - Dans l'exemple de problème, 600 (votre nombre cible) se situe à peu près à mi-chemin entre les nombres limites 512 et 729. Vous choisissez donc 5 comme nombre suivant.
- Testez votre estimation en déterminant le cube de celle-ci. Essayez de multiplier l'estimation avec laquelle vous travaillez actuellement pour savoir à quel point vous êtes proche du nombre cible.
  - Dans cet exemple, vous multipliez 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}Ajustez votre estimation si nécessaire. Après avoir atteint le cube de votre dernière estimation, comparez le résultat à votre nombre cible. Si le résultat est supérieur à la cible, votre estimation doit être plus petite. Si le résultat est inférieur à l'objectif, vous devez l'ajuster à la hausse jusqu'à ce que vous atteigniez l'objectif.
    - Par exemple, dans cette déclaration 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Estimez le chiffre suivant pour une réponse plus précise. Continuez cette procédure d'estimation des nombres de 0 à 9 jusqu'à ce que votre réponse soit aussi précise que vous le souhaitez. Avant chaque cycle d'estimation, vous commencez par vérifier la position de votre dernier calcul entre les nombres limites.
      - Dans cet exemple d'exercice, votre dernière série de calculs montre que ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592,7}$ Continuez à évaluer et à ajuster. Faites-le autant de fois que nécessaire, augmentez votre estimation à la puissance cubique et voyez comment elle se compare au nombre cible. Recherchez les nombres qui sont juste en dessous ou juste au-dessus du nombre cible.
        Pour cet exemple d'exercice, vous commencerez par noter que ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ Continuez jusqu'à ce que vous atteigniez la précision souhaitée. Continuez à estimer, comparer et réévaluer aussi longtemps que nécessaire jusqu'à ce que votre solution soit aussi précise que vous le souhaitez. Notez qu'à chaque décimale, vos nombres cibles se rapprochent de plus en plus du nombre réel.
        Pour l'exemple de racine cubique de 600, en supposant deux nombres décimaux, vous êtes à moins de 1 du nombre cible de 8,43. Si vous continuez à trois décimales, vous verrez que ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$ Passez en revue le binôme de Newton. Pour comprendre pourquoi cet algorithme fonctionne pour déterminer les racines du cube, vous devez d'abord vous rappeler à quoi ressemble le cube en tant que binôme. Vous avez probablement appris cela en mathématiques au lycée (et comme la plupart des gens, vous l'avez probablement rapidement oublié). Sélectionnez deux variables ${ displaystyle A}$ Écrivez le binôme sous forme cubique. Nous travaillons maintenant à rebours en déterminant d'abord le cube, puis en examinant pourquoi la solution de racine cubique fonctionne. Nous avons besoin des valeurs de ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Connaissez le sens de la longue division. Notez que la méthode de la racine cubique fonctionne comme la division longue. Dans la division longue, vous voyez que deux facteurs multipliés ensemble donnent le nombre avec lequel vous avez commencé. Dans ce calcul, le nombre que vous recherchez (le nombre qui apparaît finalement au-dessus de la racine carrée) est la racine cubique. Cela signifie qu'il est égal au terme (10A + B). Les réels A et B ne sont plus pertinents, tant que vous comprenez la relation avec la réponse.
        Voir la version étendue. Lorsque vous regardez le binôme de Newton, vous pouvez voir pourquoi l'algorithme de racine cubique est correct. Voyez comment le diviseur à chaque étape de l'algorithme est égal à la somme des quatre termes que vous devez calculer et additionner. Ces conditions se présentent comme suit:
        Le premier terme contient un multiple de 1000. Vous choisissez d'abord un nombre qui pourrait être élevé au cube tout en restant dans la plage de la division longue comme premier nombre. Cela donne le terme 1000A ^ 3 dans le binôme.
        Le deuxième terme du binôme de Newton a 300 comme coefficient. (Cela vient de ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Regardez la précision augmenter. Lorsque vous travaillez sur une longue division, chaque étape que vous effectuez donne une grande précision à votre réponse. Par exemple, l'exemple de problème traité dans cet article concerne la détermination de la racine cubique de 10. Dans la première étape, la solution est 2, car ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ se rapproche, mais est inférieur à 10. En fait, il tient ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Après le deuxième tour, votre solution est 2,1. Une fois que vous avez réglé cela, vous obtiendrez ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9 261}$ , ce qui est beaucoup plus proche du résultat souhaité (10). Après le troisième tour, vous avez 2,15, ce qui vous donne ${ displaystyle 2,15 ^ {3} = 9,94}$ . Continuez à travailler par groupes de trois nombres et vous obtiendrez une réponse aussi précise que vous le souhaitez.

Conseils

Comme toute autre chose, vos compétences en mathématiques s'amélioreront avec la pratique. Plus vous pratiquez, mieux vous serez en mesure de faire ce genre de calculs.