Comment diviser des matrices

Vidéo: L1 Calcul matriciel : exemple de calcul d’un produit de deux matrices

Contenu

Bref résumé
Pas
Partie 1 sur 3: Tester la divisibilité des matrices
Partie 2 sur 3: Trouver la matrice inverse
Partie 3 sur 3: Multiplication matricielle
Conseils
Avertissements
Articles supplémentaires

Si vous savez comment multiplier deux matrices, vous pouvez commencer à « diviser » les matrices. Le mot « division » est entre guillemets, car les matrices ne peuvent pas réellement être divisées. L'opération de division est remplacée par l'opération de multiplication d'une matrice par une matrice inverse de la seconde matrice. Pour simplifier, considérons un exemple avec des nombres entiers : 10 5. Trouvez l'inverse de 5 : 5 ou /₅, puis remplacer la division par la multiplication : 10 x 5 ; le résultat de la division et de la multiplication sera le même. Par conséquent, on pense que la division peut être remplacée par la multiplication par la matrice inverse. Typiquement, de tels calculs sont utilisés pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Bref résumé

Vous ne pouvez pas diviser des matrices. Au lieu de diviser, une matrice est multipliée par l'inverse de la deuxième matrice. "Division" de deux matrices [A] ÷ [B] s'écrit comme suit : [A] * [B] ou [B] * [A].
Si la matrice [B] n'est pas carrée, ou si son déterminant est 0, notez "pas de solution univoque". Sinon, trouvez le déterminant de la matrice [B] et passez à l'étape suivante.
Trouvez l'inverse : [B].
Multipliez les matrices pour trouver [A] * [B] ou [B] * [A]. Gardez à l'esprit que l'ordre dans lequel les matrices sont multipliées affecte le résultat final (c'est-à-dire que les résultats peuvent varier).

Pas

Partie 1 sur 3: Tester la divisibilité des matrices

1 Comprendre la "division" des matrices. En fait, les matrices ne peuvent pas être divisées. Il n'existe pas d'opération mathématique telle que « diviser une matrice par une autre ». La division est remplacée en multipliant une matrice par l'inverse de la deuxième matrice. C'est-à-dire que la notation [A] ÷ [B] n'est pas correcte, elle est donc remplacée par la notation suivante : [A] * [B]. Étant donné que les deux entrées sont équivalentes dans le cas de valeurs scalaires, on peut théoriquement parler de "division" de matrices, mais il est toujours préférable d'utiliser la terminologie correcte.
- Notez que [A] * [B] et [B] * [A] sont des opérations différentes. Il peut être nécessaire d'effectuer les deux opérations pour trouver toutes les solutions possibles.
- Par exemple, au lieu de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ écrire ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Vous devrez peut-être calculer ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ pour obtenir un résultat différent.
2 Assurez-vous que la matrice par laquelle vous «divisez» l'autre matrice est carrée. Pour inverser une matrice (trouver l'inverse d'une matrice), elle doit être carrée, c'est-à-dire avec le même nombre de lignes et de colonnes. Si la matrice inversée n'est pas inverse, il n'y a pas de solution définie.
- Encore une fois, les matrices ne sont pas « divisibles » ici. Dans l'opération [A] * [B], la condition décrite se réfère à la matrice [B]. Dans notre exemple, cette condition fait référence à la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Une matrice qui peut être inversée est dite non dégénérée ou régulière. Une matrice qui ne peut pas être inversée est dite dégénérée ou singulière.
3 Vérifiez si les deux matrices peuvent être multipliées. Pour multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Si cette condition n'est pas remplie dans l'entrée [A] * [B] ou [B] * [A], il n'y a pas de solution.
- Par exemple, si la taille de la matrice [A] est de 4 x 3 et la taille de la matrice [B] est de 2 x 2, il n'y a pas de solution. Vous ne pouvez pas multiplier [A] * [B] parce que 4 2, et vous ne pouvez pas multiplier [B] * [A] parce que 2 3.
- Notez que la matrice inverse [B] a toujours le même nombre de lignes et de colonnes que la matrice d'origine [B]. Il n'est pas nécessaire de trouver la matrice inverse pour vérifier que deux matrices peuvent être multipliées.
- Dans notre exemple, la taille des deux matrices est de 2 x 2, elles peuvent donc être multipliées dans n'importe quel ordre.
4 Trouvez le déterminant de la matrice 2 × 2. Rappel : vous ne pouvez inverser une matrice que si son déterminant n'est pas nul (sinon, vous ne pouvez pas inverser la matrice). Voici comment trouver le déterminant d'une matrice 2 x 2 :
- Matrice 2 x 2 : déterminant d'une matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ est égal à ad - bc. C'est-à-dire que du produit des éléments de la diagonale principale (passe par les coins supérieur gauche et inférieur droit), soustrayez les produits des éléments de l'autre diagonale (passe par les coins supérieur droit et inférieur gauche).
- Par exemple, le déterminant de la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ est égal à (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Le déterminant est non nul, donc cette matrice peut être inversée.
5 Trouvez le déterminant de la plus grande matrice. Si la taille de la matrice est de 3 x 3 ou plus, le déterminant est légèrement plus difficile à calculer.
- matrice 3 x 3: sélectionnez n'importe quel élément et rayez la ligne et la colonne dans lesquelles il se trouve.Trouvez le déterminant de la matrice 2 × 2 résultante, puis multipliez-le par l'élément sélectionné; spécifier le signe du déterminant dans une table spéciale. Répétez ce processus pour les deux autres éléments qui se trouvent dans la même ligne ou colonne que l'élément que vous avez sélectionné. Trouvez ensuite la somme des (trois) déterminants reçus. Lisez cet article pour plus d'informations sur la façon de trouver le déterminant d'une matrice 3 x 3.
- Grandes matrices: le déterminant de telles matrices est mieux recherché avec une calculatrice graphique ou un logiciel. La méthode est similaire à la méthode pour trouver le déterminant d'une matrice 3 × 3, mais il est assez fastidieux de l'appliquer manuellement. Par exemple, pour trouver le déterminant d'une matrice 4 x 4, vous devez trouver les déterminants de quatre matrices 3 x 3.
6 Continuez les calculs. Si la matrice n'est pas carrée ou si son déterminant est égal à zéro, écrivez "pas de solution univoque", c'est-à-dire que le processus de calcul est terminé. Si la matrice est carrée et a un déterminant non nul, passez à la section suivante.

Partie 2 sur 3: Trouver la matrice inverse

1 Échangez les éléments de la diagonale principale de la matrice 2 x 2. Étant donné une matrice 2 × 2, utilisez la méthode inverse rapide. Tout d'abord, échangez l'élément en haut à gauche et l'élément en bas à droite. Par exemple:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Noter: la plupart des gens utilisent des calculatrices pour inverser une matrice 3 x 3 (ou plus grande). Si vous devez le faire manuellement, allez à la fin de cette section.
2 N'intervertissez pas les deux éléments restants, mais changez leur signe. Autrement dit, multipliez l'élément en haut à droite et l'élément en bas à gauche par -1 :
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Trouver l'inverse du déterminant. Le déterminant de cette matrice a été trouvé dans la section précédente, nous ne le recalculerons donc pas. L'inverse du déterminant s'écrit comme suit : 1/ (déterminant) :
- Dans notre exemple, le déterminant est 13. Valeur inverse : ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Multipliez la matrice résultante par l'inverse du déterminant. Multipliez chaque élément de la nouvelle matrice par l'inverse du déterminant. La matrice finale sera l'inverse de la matrice 2 x 2 d'origine :
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} fin {pmatrix}}}$
5 Vérifiez que les calculs sont corrects. Pour ce faire, multipliez la matrice d'origine par son inverse. Si les calculs sont corrects, le produit de la matrice d'origine par l'inverse donnera la matrice identité : (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Si le test a réussi, passez à la section suivante.
- Dans notre exemple : ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrice}}}$ .
- Pour plus d'informations sur la façon de multiplier des matrices, lisez cet article.
- Remarque : l'opération de multiplication matricielle n'est pas commutative, c'est-à-dire que l'ordre des matrices est important. Mais lorsque la matrice d'origine est multipliée par son inverse, tout ordre conduit à la matrice identité.
6 Trouver l'inverse d'une matrice 3 x 3 (ou plus grand). Si vous êtes déjà familiarisé avec ce processus, il est préférable d'utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel spécial. Si vous avez besoin de trouver la matrice inverse manuellement, le processus est brièvement décrit ci-dessous :
- Rejoignez la matrice d'identité I sur le côté droit de la matrice d'origine. Par exemple, [B] → [B | JE]. Pour la matrice identité, tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et tous les autres éléments sont égaux à 0.
- Simplifiez la matrice de sorte que son côté gauche soit en escalier ; continuer à simplifier pour que le côté gauche devienne la matrice d'identité.
- Après simplification, la matrice prendra la forme suivante : [I | B]. C'est-à-dire que son côté droit est l'inverse de la matrice d'origine.

Partie 3 sur 3: Multiplication matricielle

1 Écris deux expressions possibles. L'opération de multiplication de deux scalaires est commutative, c'est-à-dire 2 x 6 = 6 x 2.Ce n'est pas le cas dans le cas de la multiplication matricielle, vous devrez donc peut-être résoudre deux expressions :
- X = [A] * [B] est la solution de l'équation X[B] = [A].
- X = [B] * [A] est la solution de l'équation [B]X = [A].
- Effectuez chaque opération mathématique des deux côtés de l'équation. Si [A] = [C] alors [B] [A] [C] [B] car [B] est à gauche de [A] mais à droite de [C].
2 Déterminer la taille de la matrice finale. La taille de la matrice finale dépend de la taille des matrices multipliées. Le nombre de lignes de la matrice finale est égal au nombre de lignes de la première matrice et le nombre de colonnes de la matrice finale est égal au nombre de colonnes de la deuxième matrice.
- Dans notre exemple, la taille des deux matrices ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ et ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} fin {pmatrix}}}$ est de 2 x 2, donc la taille de la matrice d'origine sera de 2 x 2.
- Considérons un exemple plus complexe : si la taille de la matrice [A] est 4 x 3, et la taille de la matrice [B] est 3 x 3, alors la matrice finale [A] * [B] sera 4 x 3.
3 Trouvez la valeur du premier élément. Lisez cet article ou souvenez-vous des étapes de base suivantes :
- Pour trouver le premier élément (première ligne, première colonne) de la matrice finale [A] [B], calculez le produit scalaire des éléments de la première ligne de la matrice [A] et des éléments de la première colonne de la matrice [B ]. Dans le cas d'une matrice 2 x 2, le produit scalaire est calculé comme suit : ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Dans notre exemple : ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Ainsi, le premier élément de la matrice finale sera l'élément :
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ style d'affichage = 3 + -4}$
  ${ style d'affichage = -1}$
4 Continuez à calculer les produits scalaires pour trouver chaque élément de la matrice finale. Par exemple, l'élément situé dans la deuxième ligne et la première colonne est égal au produit scalaire de la deuxième ligne de la matrice [A] et de la première colonne de la matrice [B]. Essayez de trouver vous-même les éléments restants. Vous devriez obtenir les résultats suivants :
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 fin {pmatrix}}}$
- Si vous avez besoin de trouver une autre solution : ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 fin {pmatrix}}}$

Conseils

La matrice peut être divisée en un scalaire ; pour cela, chaque élément de la matrice est divisé par un scalaire.
- Par exemple, si la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ divisé par 2, vous obtenez la matrice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Avertissements

La calculatrice ne donne pas toujours des résultats absolument précis lorsqu'il s'agit de calculs matriciels. Par exemple, si la calculatrice prétend que l'élément est un très petit nombre (comme 2E), la valeur est très probablement zéro.