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• Pas
• Méthode 1 sur 3: Comment trouver le côté inconnu
• Méthode 2 sur 3: Trouver un angle inconnu
• Méthode 3 sur 3: Exemples de problèmes
• Conseils

Le théorème du cosinus est largement utilisé en trigonométrie. Il est utilisé lorsque vous travaillez avec des triangles irréguliers pour trouver des quantités inconnues telles que des côtés et des angles. Le théorème est similaire au théorème de Pythagore et est assez facile à retenir. Le théorème du cosinus dit que dans tout triangle ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Pas

Méthode 1 sur 3: Comment trouver le côté inconnu

1. 1 Notez les valeurs connues. Pour trouver le côté inconnu d'un triangle, vous devez connaître les deux autres côtés et l'angle entre eux.
   • Par exemple, étant donné un triangle XYZ. Le côté YX est de 5 cm, le côté YZ est de 9 cm et l'angle Y est de 89°. Quel est le côté XZ ?
2. 2 Écrivez la formule du théorème du cosinus. Formule: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, où ${ style d'affichage c}$ - fête inconnue, ${ style d'affichage cos {C}}$ - cosinus de l'angle opposé au côté inconnu, ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$ - deux côtés bien connus.
3. 3 Branchez les valeurs connues dans la formule. Variables ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$ désignent deux côtés connus. Variable ${ style d'affichage C}$ est l'angle connu entre les côtés ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$.
   • Dans notre exemple, le côté XZ est inconnu, donc dans la formule il est noté ${ style d'affichage c}$... Puisque les côtés YX et YZ sont connus, ils sont désignés par les variables ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$... Variable ${ style d'affichage C}$ est l'angle Y. Ainsi, la formule s'écrira comme suit : ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Trouver le cosinus d'un angle connu. Faites-le avec une calculatrice. Entrez une valeur d'angle, puis cliquez sur ${ displaystyle COS}$... Si vous n'avez pas de calculatrice scientifique, trouvez une table de cosinus en ligne, par exemple, ici. Également dans Yandex, vous pouvez entrer "cosinus de X degrés" (remplacez la valeur de l'angle par X), et le moteur de recherche affichera le cosinus de l'angle.
   • Par exemple, le cosinus est 89 ° 0,01745. Alors: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Multipliez les nombres. Multiplier ${ style d'affichage 2ab}$ par le cosinus d'un angle connu.
   • Par exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Pliez les carrés des côtés connus. N'oubliez pas que pour élever un nombre au carré, il doit être multiplié par lui-même. Commencez par mettre au carré les nombres correspondants, puis ajoutez les valeurs résultantes.
   • Par exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 Soustrayez deux nombres. Tu trouveras ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Par exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Prenez la racine carrée de cette valeur. Pour ce faire, utilisez une calculatrice. C'est ainsi que vous trouvez le côté inconnu.
   • Par exemple:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ style d'affichage c = 10.2191}$
     Ainsi, le côté inconnu est de 10,2191 cm.

Méthode 2 sur 3: Trouver un angle inconnu

1. 1 Notez les valeurs connues. Pour trouver l'angle inconnu d'un triangle, vous devez connaître les trois côtés du triangle.
   • Par exemple, étant donné un triangle RST. Côté CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm.Trouvez la valeur de l'angle S.
2. 2 Écrivez la formule du théorème du cosinus. Formule: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, où ${ style d'affichage cos {C}}$ - cosinus d'angle inconnu, ${ style d'affichage c}$ - un côté connu opposé à un coin inconnu, ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$ - deux autres fêtes célèbres.
3. 3 Trouver les valeurs une{ style d'affichage a}, b{ style d'affichage b} et c{ style d'affichage c}. Ensuite, branchez-les dans la formule.
   • Par exemple, le côté RT est opposé à l'angle inconnu S, donc le côté RT est ${ style d'affichage c}$ dans la formule. D'autres parties vont ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$... Ainsi, la formule s'écrira comme suit : ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Multipliez les nombres. Multiplier ${ style d'affichage 2ab}$ par le cosinus de l'angle inconnu.
   • Par exemple, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Ériger c{ style d'affichage c} dans un carré. C'est-à-dire multiplier le nombre lui-même.
   • Par exemple, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Plier les carrés une{ style d'affichage a} et b{ style d'affichage b}. Mais d'abord, mettez au carré les nombres correspondants.
   • Par exemple:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isoler le cosinus de l'angle inconnu. Pour ce faire, soustrayez le montant ${ displaystyle a ^ {2}}$ et ${ displaystyle b ^ {2}}$ des deux côtés de l'équation. Divisez ensuite chaque côté de l'équation par le facteur au cosinus de l'angle inconnu.
   • Par exemple, pour isoler le cosinus d'un angle inconnu, soustrayez 164 des deux côtés de l'équation, puis divisez chaque côté par -160 :
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Calculer le cosinus inverse. Cela permettra de trouver la valeur de l'angle inconnu. Sur la calculatrice, la fonction cosinus inverse est notée ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Par exemple, l'arccosinus de 0,0125 est 82,8192. L'angle S est donc de 82,8192°.

Méthode 3 sur 3: Exemples de problèmes

1. 1 Trouvez le côté inconnu du triangle. Les côtés connus sont de 20 cm et 17 cm, et l'angle entre eux est de 68°.
   • Comme on vous donne deux côtés et l'angle entre eux, vous pouvez utiliser le théorème du cosinus. Écrivez la formule : ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Le côté inconnu est ${ style d'affichage c}$... Branchez les valeurs connues dans la formule : ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Calculer ${ displaystyle c ^ {2}}$, en respectant l'ordre des opérations mathématiques :
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Prenez la racine carrée des deux membres de l'équation. Voici comment vous trouvez le côté inconnu:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ style d'affichage c = 20.8391}$
     Ainsi, le côté inconnu est de 20,8391 cm.
2. 2 Trouvez l'angle H dans le triangle GHI. Les deux côtés adjacents au coin H mesurent 22 et 16 cm, le côté opposé au coin H mesure 13 cm.
   • Comme les trois côtés sont donnés, le théorème du cosinus peut être utilisé. Écrivez la formule : ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Le côté opposé au coin inconnu est ${ style d'affichage c}$... Branchez les valeurs connues dans la formule : ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Simplifiez l'expression résultante :
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isoler le cosinus :
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Trouvez le cosinus inverse. Voici comment calculer l'angle inconnu :
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Ainsi, l'angle H est de 35,7985°.
3. 3 Trouvez la longueur de la piste. Les chemins de la rivière, des collines et des marais forment un triangle. La longueur du River Trail est de 3 km, la longueur du Hilly Trail est de 5 km; ces sentiers se croisent à un angle de 135°. Le sentier des marais relie les deux extrémités des autres sentiers. Trouvez la longueur du sentier des marais.
   • Les sentiers forment un triangle. Vous devez trouver la longueur du chemin inconnu, qui est le côté du triangle. Puisque les longueurs des deux autres chemins et l'angle entre eux sont donnés, le théorème du cosinus peut être utilisé.
   • Écrivez la formule : ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Le chemin inconnu (Swamp) sera noté comme ${ style d'affichage c}$... Branchez les valeurs connues dans la formule : ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Calculer ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ style d'affichage c ^ {2} = 55.2132}$
   • Prenez la racine carrée des deux membres de l'équation. Voici comment vous trouvez la longueur du chemin inconnu:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ style d'affichage c = 7.4306}$
     Ainsi, la longueur du Swamp Trail est de 7,4306 km.

Conseils

• Il est plus facile d'utiliser le théorème des sinus. Par conséquent, découvrez d'abord s'il peut être appliqué au problème donné.