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• Méthode 1 sur 2: Point d'intersection de deux lignes
• Méthode 2 sur 2: Problèmes avec les fonctions quadratiques
• Conseils

Dans l'espace à deux dimensions, deux lignes droites se coupent en un seul point, spécifié par des coordonnées (x, y). Puisque les deux lignes passent par le point de leur intersection, les coordonnées (x, y) doivent satisfaire les deux équations qui décrivent ces lignes.Avec quelques compétences supplémentaires, vous pouvez trouver les points d'intersection de paraboles et d'autres courbes quadratiques.

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Méthode 1 sur 2: Point d'intersection de deux lignes

1. 1 Écrivez l'équation pour chaque ligne en isolant la variable y sur le côté gauche de l'équation. Les autres termes de l'équation doivent être placés du côté droit de l'équation. Peut-être que l'équation qui vous est donnée au lieu de "y" contiendra la variable f (x) ou g (x); dans ce cas, isolez une telle variable. Pour isoler une variable, effectuez les calculs appropriés des deux côtés de l'équation.
   • Si les équations des droites ne vous sont pas données, trouvez-les en fonction des informations que vous connaissez.
   • Exemple... Soit des droites décrites par les équations ${ style d'affichage y = x + 3}$ et ${ displaystyle y-12 = -2x}$... Pour isoler le y dans la deuxième équation, ajoutez 12 aux deux côtés de l'équation : ${ style d'affichage y = 12-2x}$
2. 2 Égalisez les expressions du côté droit de chaque équation. Notre tâche est de trouver le point d'intersection des deux droites, c'est-à-dire le point dont les coordonnées (x, y) satisfont les deux équations. Puisque la variable « y » est située du côté gauche de chaque équation, les expressions situées du côté droit de chaque équation peuvent être assimilées. Écrivez la nouvelle équation.
   • Exemple... Comme ${ style d'affichage y = x + 3}$ et ${ style d'affichage y = 12-2x}$, alors vous pouvez écrire l'égalité suivante : ${ style d'affichage x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Trouver la valeur de la variable "x". La nouvelle équation ne contient qu'une seule variable "x". Pour trouver le "x", isolez cette variable du côté gauche de l'équation en effectuant les calculs appropriés des deux côtés de l'équation. Vous devriez obtenir une équation de la forme x = __ (si ce n'est pas possible, passez à la fin de cette section).
   • Exemple. ${ style d'affichage x + 3 = 12-2x}$
   • Ajouter ${ style d'affichage 2x}$ à chaque côté de l'équation :
   • ${ style d'affichage 3x + 3 = 12}$
   • Soustrayez 3 de chaque côté de l'équation :
   • ${ style d'affichage 3x = 9}$
   • Divisez chaque côté de l'équation par 3 :
   • ${ style d'affichage x = 3}$.
4. 4 Utilisez la valeur trouvée de la variable "x" pour calculer la valeur de la variable "y". Pour ce faire, remplacez la valeur trouvée "x" dans l'équation (n'importe quelle) ligne droite.
   • Exemple. ${ style d'affichage x = 3}$ et ${ style d'affichage y = x + 3}$
   • ${ style d'affichage y = 3 + 3}$
   • ${ style d'affichage y = 6}$
5. 5 Vérifie ta réponse. Pour ce faire, substituez la valeur "x" dans une autre équation de la ligne et trouvez la valeur "y". Si vous obtenez des valeurs y différentes, vérifiez que vos calculs sont corrects.
   • Exemple:${ style d'affichage x = 3}$ et ${ style d'affichage y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ style d'affichage y = 12-6}$
   • ${ style d'affichage y = 6}$
   • Nous avons obtenu la même valeur pour "y", il n'y a donc pas d'erreurs dans nos calculs.
6. 6 Notez les coordonnées (x, y). En calculant les valeurs de "x" et "y", vous avez trouvé les coordonnées de l'intersection des deux droites. Notez les coordonnées du point d'intersection sous la forme (x, y).
   • Exemple. ${ style d'affichage x = 3}$ et ${ style d'affichage y = 6}$
   • Ainsi, deux droites se coupent en un point de coordonnées (3, 6).
7. 7 Calculs dans des cas particuliers. Dans certains cas, la valeur de la variable "x" est introuvable. Mais cela ne signifie pas que vous avez fait une erreur. Un cas particulier se produit lorsque l'une des conditions suivantes est remplie :
   • Si deux droites sont parallèles, elles ne se coupent pas. Dans ce cas, la variable "x" sera simplement annulée et l'équation se transformera en une égalité dénuée de sens (par exemple, ${ style d'affichage 0 = 1}$). Dans ce cas, écrivez dans votre réponse que les lignes droites ne se coupent pas ou alors pas de solution.
   • Si les deux équations décrivent une ligne droite, alors il y aura un nombre infini de points d'intersection. Dans ce cas, la variable "x" sera simplement annulée et l'équation se transformera en une stricte égalité (par exemple, ${ style d'affichage 3 = 3}$). Dans ce cas, écrivez dans votre réponse que deux droites coïncident.

Méthode 2 sur 2: Problèmes avec les fonctions quadratiques

1. 1 Définition d'une fonction quadratique. Dans une fonction quadratique, une ou plusieurs variables ont le deuxième degré (mais pas plus), par exemple, ${ style d'affichage x ^ {2}}$ ou alors ${ displaystyle y ^ {2}}$... Les tracés de fonction quadratique sont des courbes qui peuvent ne pas se croiser en un ou deux points. Dans cette section, nous allons vous montrer comment trouver le ou les points d'intersection de courbes quadratiques.
   • Si l'équation comprend une expression entre parenthèses, développez les parenthèses pour vous assurer que la fonction est quadratique. Par exemple, la fonction ${ style d'affichage y = (x + 3) (x)}$ est quadratique, puisque le développement des parenthèses donne ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • La fonction décrivant le cercle comprend à la fois ${ style d'affichage x ^ {2}}$et ${ displaystyle y ^ {2}}$... Si vous rencontrez des problèmes pour résoudre des problèmes avec cette fonction, rendez-vous dans la section "Conseils".
2. 2 Réécrivez chaque équation en isolant la variable y sur le côté gauche de l'équation. Les autres termes de l'équation doivent être placés du côté droit de l'équation.
   • Exemple... Trouver le(s) point(s) d'intersection des graphes ${ displaystyle x ^ {2} + 2x-y = -1}$ et ${ style d'affichage y = x + 7}$
   • Isolez la variable y du côté gauche de l'équation :
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ et ${ style d'affichage y = x + 7}$.
   • Dans cet exemple, vous disposez d'une fonction quadratique et d'une fonction linéaire. N'oubliez pas que si vous recevez deux fonctions quadratiques, les calculs sont similaires aux étapes ci-dessous.
3. 3 Égalisez les expressions du côté droit de chaque équation. Puisque la variable « y » est située du côté gauche de chaque équation, les expressions situées du côté droit de chaque équation peuvent être assimilées.
   • Exemple. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ et ${ style d'affichage y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Transférez tous les termes de l'équation résultante sur son côté gauche et écrivez 0 sur le côté droit. Pour ce faire, effectuez des opérations mathématiques de base. Cela vous permettra de résoudre l'équation résultante.
   • Exemple. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Soustrayez « x » des deux côtés de l'équation :
   • ${ style d'affichage x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Soustrayez 7 des deux côtés de l'équation :
   • ${ style d'affichage x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Résoudre l'équation quadratique. En déplaçant tous les termes de l'équation vers sa gauche, vous obtenez une équation quadratique. Il peut être résolu de trois manières : en utilisant une formule spéciale, en complétant un carré plein, et en factorisant l'équation.
   • Exemple. ${ style d'affichage x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • Lors de la factorisation d'une équation, vous obtenez deux binômes que vous multipliez pour obtenir l'équation d'origine. Dans notre exemple, le premier terme ${ style d'affichage x ^ {2}}$ peut être étendu en x * x. Saisissez l'entrée suivante : (x) (x) = 0
   • Dans notre exemple, le terme libre -6 peut être étendu aux facteurs suivants : ${ style d'affichage -6 * 1}$, ${ style d'affichage -3 * 2}$, ${ style d'affichage -2 * 3}$, ${ style d'affichage -1 * 6}$.
   • Dans notre exemple, le deuxième terme est x (ou 1x). Ajoutez chaque paire de facteurs d'interception (dans notre exemple -6) jusqu'à ce que vous obteniez 1. Dans notre exemple, la paire appropriée de facteurs d'interception est -2 et 3 (${ style d'affichage -2 * 3 = -6}$), comme ${ style d'affichage -2 + 3 = 1}$.
   • Remplissez les blancs avec la paire de nombres trouvée : ${ style d'affichage (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 N'oubliez pas le deuxième point d'intersection des deux graphiques. À la hâte, vous pouvez oublier le deuxième point d'intersection. Voici comment trouver les coordonnées x de deux points d'intersection :
   • Exemple (factorisation)... Si dans l'équation ${ style d'affichage (x-2) (x + 3) = 0}$ une des expressions entre parenthèses sera égale à 0, alors toute l'équation sera égale à 0. Vous pouvez donc l'écrire comme ceci : ${ style d'affichage x-2 = 0}$ → ${ style d'affichage x = 2}$ et ${ style d'affichage x + 3 = 0}$ → ${ style d'affichage x = -3}$ (c'est-à-dire que vous avez trouvé deux racines de l'équation).
   • Exemple (en utilisant une formule ou un complément à un carré plein)... Lorsque vous utilisez l'une de ces méthodes, la racine carrée apparaîtra dans le processus de résolution. Par exemple, l'équation de notre exemple prendra la forme ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... N'oubliez pas que vous obtenez deux solutions lorsque vous prenez la racine carrée. Dans notre cas: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, et${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... Écrivez donc deux équations et trouvez deux valeurs x.
7. 7 Les graphiques se coupent en un point ou ne se coupent pas du tout. De telles situations se produisent lorsque les conditions suivantes sont remplies :
   • Si les graphiques se coupent en un point, alors l'équation quadratique est décomposée en les mêmes facteurs, par exemple, (x-1) (x-1) = 0, et la racine carrée de 0 apparaît dans la formule (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). Dans ce cas, l'équation n'a qu'une seule solution.
   • Si les graphiques ne se coupent pas du tout, l'équation n'est pas décomposée en facteurs et la racine carrée d'un nombre négatif apparaît dans la formule (par exemple, ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). Dans ce cas, écrivez dans la réponse que pas de solution.
8. 8 Remplacez la valeur trouvée de la variable "x" dans l'équation (n'importe laquelle) de la courbe. Cela trouvera la valeur de la variable y. Si vous avez deux valeurs pour la variable "x", suivez le processus décrit avec les deux valeurs de "x".
   • Exemple... Vous avez trouvé deux valeurs pour la variable "x": ${ style d'affichage x = 2}$ et ${ style d'affichage x = -3}$... Branchez chacune de ces valeurs dans une équation linéaire ${ style d'affichage y = x + 7}$... Tu auras : ${ style d'affichage y = 2 + 7 = 9}$ et ${ style d'affichage y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Notez les coordonnées du point d'intersection sous la forme (x, y). En calculant les valeurs x et y, vous avez trouvé les coordonnées de l'intersection des deux graphiques. Si vous avez identifié deux valeurs "x" et "y", notez les deux paires de coordonnées sans confondre les valeurs correspondantes "x" et "y".
   • Exemple... Lorsqu'il est substitué dans l'équation ${ style d'affichage x = 2}$ Tu auras ${ style d'affichage y = 9}$, c'est-à-dire une paire de coordonnées (2, 9)... En faisant le même calcul avec la deuxième valeur x, vous obtiendrez la deuxième paire de coordonnées (-3, 4).

Conseils

• La fonction décrivant le cercle comprend à la fois ${ style d'affichage x ^ {2}}$et ${ displaystyle y ^ {2}}$... Pour trouver le ou les points d'intersection d'un cercle et d'une ligne droite, calculez « x » à l'aide d'une équation linéaire. Ensuite, branchez la valeur x trouvée dans la fonction qui décrit le cercle, et vous obtenez une équation quadratique simple qui peut ne pas avoir de solution ou avoir une ou deux solutions.
• Un cercle et une courbe (quadratique ou autre) ne peuvent pas se croiser ou se croiser en un, deux, trois, quatre points. Dans ce cas, vous devez trouver la valeur de x (pas "x"), puis la substituer dans la deuxième fonction. En calculant y, vous obtenez une ou deux solutions, voire aucune solution. Branchez maintenant la valeur trouvée "y" dans l'une des deux fonctions et trouvez la valeur "x". Dans ce cas, vous obtiendrez une ou deux solutions, voire aucune solution.