Contenu

• Avancer d'un pas
• Méthode 1 sur 2: Simplifiez les fractions empilées avec la multiplication inverse
• Méthode 2 sur 2: Simplifier les fractions empilées avec des termes variables
• Conseils

Les fractions empilées sont celles dans lesquelles le numérateur, le dénominateur ou les deux contiennent également des fractions. Pour cette raison, vous pouvez également appeler cela «fractions en fractions». La simplification des fractions empilées est un processus qui peut aller de facile à difficile en fonction du nombre de termes dans le numérateur et le dénominateur, si l'un des termes est variable et, dans l'affirmative, de la complexité des termes variables. Voir l'étape 1 ci-dessous pour commencer!

Avancer d'un pas

Méthode 1 sur 2: Simplifiez les fractions empilées avec la multiplication inverse

1. Si nécessaire, simplifiez le numérateur et le dénominateur en quelques fractions. Les fractions empilées ne sont pas nécessairement difficiles à résoudre. En fait, les fractions empilées dans lesquelles le numérateur et le dénominateur contiennent tous deux une seule fraction sont généralement assez faciles à résoudre. Donc, si le numérateur ou le dénominateur de votre fraction empilée (ou les deux) contient plusieurs fractions ou fractions et des nombres entiers, simplifiez au besoin pour obtenir une seule fraction à la fois au numérateur et au dénominateur. Cela peut nécessiter de trouver le plus petit commun multiple (LCM) de deux fractions ou plus.
   • Supposons que nous voulions simplifier la fraction complexe (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Premièrement, nous pouvons simplifier à la fois le numérateur et le dénominateur de notre fraction complexe en fractions uniques.
     • Pour simplifier le numérateur, nous prenons une LCV de 15 en multipliant 3/5 par 3/3. Notre compteur devient 9/15 + 2/15, ce qui est égal à 11/15.
     • Pour simplifier le dénominateur, nous prenons un LCM de 70 en multipliant 5/7 par 10/10 et 3/10 par 7/7. Notre dénominateur devient 50/70 - 21/70, ce qui équivaut à 29/70.
     • Donc, notre nouvelle fraction empilée est (11/15)/(29/70).
2. Retournez le dénominateur et trouvez l'inverse. Par définition Partager d'un numéro à un autre comme lui multipliez le premier nombre par l'inverse du deuxième nombre. Maintenant que nous avons obtenu une fraction empilée avec une seule fraction à la fois au numérateur et au dénominateur, nous pouvons utiliser cette propriété de division pour simplifier notre fraction empilée! Tout d'abord, trouvez l'inverse du dénominateur de la fraction empilée. Pour ce faire, «inverser» la fraction - le numérateur remplace le dénominateur et vice versa.
   • Dans notre exemple, le dénominateur de la fraction empilée (11/15) / (29/70) est la fraction 29/70. Pour trouver l'inverse, nous l'inversons et devenons la fraction 70/29.
     • Notez que si la fraction empilée a un nombre entier dans son dénominateur, vous pouvez la traiter comme une fraction et toujours trouver son inverse. Par exemple, supposons que la fraction empilée soit (11/15) / (29), alors nous pouvons définir le dénominateur comme 29/1, avec l'inverse 1/29.
3. Multipliez le numérateur de la fraction empilée par l'inverse du dénominateur. Maintenant que vous avez obtenu l'inverse du dénominateur de votre fraction empilée, multipliez-le par le numérateur pour obtenir une seule fraction simple! N'oubliez pas que pour multiplier deux fractions, nous ne croisons pas la multiplication - le numérateur de la nouvelle fraction est le produit du numérateur des deux anciennes, et il en va de même avec le dénominateur.
   • Dans notre exemple, nous multiplions 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 et 15 × 29 = 435. Il en va de même pour notre nouvelle fraction simple 770/435.
4. Simplifiez la nouvelle fraction en trouvant le plus grand diviseur commun. Nous avons maintenant une seule fraction simple, il ne reste donc plus qu'à l'exprimer dans les termes les plus simples possibles. Trouvez le plus grand diviseur commun (pgcd) du numérateur et du dénominateur et divisez les deux par ce nombre pour le simplifier.
   • Un diviseur commun de 770 et 435 est 5. Donc, si nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre fraction par 5, nous obtenons 154/87. 154 et 87 n'ont pas de dénominateurs communs, nous savons donc que nous avons trouvé la réponse finale!

Méthode 2 sur 2: Simplifier les fractions empilées avec des termes variables

1. Lorsque cela est possible, utilisez la méthode de multiplication inverse décrite ci-dessus. Pour être clair, presque toutes les fractions empilées peuvent être simplifiées en réduisant le numérateur et le dénominateur à quelques fractions et en multipliant le numérateur par l'inverse du dénominateur. Les fractions empilées avec des variables ne font pas exception, mais plus les expressions de variables dans la fraction empilée sont complexes, plus il est difficile et chronophage d'effectuer une multiplication inverse. Pour les fractions empilées «simples» avec des variables, la multiplication par l'inverse est un bon choix, mais les fractions empilées avec plusieurs termes variables dans le numérateur et le dénominateur peuvent être plus faciles à simplifier avec la méthode alternative décrite ci-dessous.
   • Par exemple: (1 / x) / (x / 6) est facile à simplifier avec la multiplication inverse. 1 / x × 6 / x = "6 / x. Il n'est pas nécessaire d'utiliser une méthode alternative.
   • Cependant, la fraction (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) est plus difficile à simplifier avec la multiplication inverse. La réduction du numérateur et du dénominateur de cette fraction empilée à quelques fractions, la multiplication inverse et la réduction du résultat aux termes les plus simples est probablement un processus compliqué. Dans ce cas, la méthode alternative ci-dessous peut être plus simple.
2. Si la multiplication inverse n'est pas pratique, commencez par trouver le diviseur le moins commun des termes partiels dans la fraction empilée. La première étape de cette méthode alternative de simplification consiste à trouver le kgd de tous les termes fractionnaires dans la fraction empilée - à la fois au numérateur et au dénominateur. Si l'un des termes de fraction a des variables dans leurs dénominateurs, le kgd est simplement le produit de leurs dénominateurs.
   • C'est plus facile à comprendre avec un exemple. Essayons de simplifier la fraction empilée que nous avons mentionnée ci-dessus, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Les termes de fraction dans cette fraction composée sont (1) / (x + 3) et (1) / (x-5). Le dénominateur commun de ces deux fractions est le produit de leurs dénominateurs: (x + 3) (x-5).
3. Multipliez le numérateur de la fraction empilée par le kgd que vous venez de trouver. Ensuite, nous devons multiplier les termes de notre fraction empilée par le kgd de ses termes de fraction. En d'autres termes, nous multiplierons la totalité de la fraction empilée par (kgd) / (kgd). Nous pouvons le faire simplement parce que (kgd) / (kgd) est égal à 1. Multipliez d'abord le numérateur par lui-même.
   • Dans notre exemple, nous multiplions la fraction empilée (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), par ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Nous devrons multiplier par le numérateur et le dénominateur de la fraction empilée, en multipliant chaque terme par (x + 3) (x-5).
     • Tout d'abord, multiplions le numérateur: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
       • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
       • = (x-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))
       • = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
       • = (x-5) + x - 12x + 5x + 150
       • = x - 12x + 6x + 145
4. Multipliez le dénominateur de la fraction empilée par le kgd comme vous l'avez fait avec le numérateur. Multipliez la fraction empilée par le kgd que vous avez trouvé en allant au dénominateur. Multipliez chaque terme par le kgd.
   • Le dénominateur de notre fraction empilée, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), est x +4 + (( 1) / (x-5)). Nous allons multiplier cela par le kgd que nous avons trouvé, (x + 3) (x-5).
     • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
     • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
     • = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
     • = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
     • = x + 2x - 22x - 57
5. Formez une nouvelle fraction simplifiée du numérateur et du dénominateur que vous venez de trouver. Après avoir multiplié votre fraction par votre expression (kgd) / (kgd) et l'avoir simplifiée en annulant des termes similaires, vous devriez vous retrouver avec une fraction simple qui ne contient pas de termes fractionnaires. Comme vous l'avez peut-être remarqué, les dénominateurs de ces fractions s'annulent (en multipliant les fractions de la fraction empilée d'origine par le kgd), laissant des termes variables et des entiers dans le numérateur et le dénominateur de votre réponse, mais pas les fractures.
   • En utilisant le numérateur et le dénominateur que nous avons trouvés ci-dessus, nous pouvons construire une fraction qui est égale à notre fraction empilée initiale, mais ne contient pas de fractions. Le numérateur que nous avons obtenu était x - 12x + 6x + 145 et le dénominateur était x + 2x - 22x - 57, donc la nouvelle fraction est: (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

Conseils

• Montrez chaque étape de votre travail. Les fractions peuvent être déroutantes si vous voulez aller trop vite ou essayer de les mémoriser.
• Recherchez des exemples de fractions empilées en ligne ou dans votre manuel. Suivez chaque étape jusqu'à ce que vous compreniez.