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• Partie 1 sur 3: Trouver le domaine d'une fonction
• Partie 2 sur 3: Trouver la plage d'une fonction quadratique
• Partie 3 sur 3: Trouver la plage d'une fonction à l'aide de son graphique

Chaque fonction a deux variables - la variable indépendante et la variable dépendante, dont les valeurs dépendent des valeurs de la variable indépendante. Par exemple, dans la fonction oui = F(X) = 2X + oui la variable indépendante est x et la variable dépendante est y (en d'autres termes, y est une fonction de x). Les valeurs valides de la variable indépendante "x" sont appelées le domaine de la fonction, et les valeurs valides de la variable dépendante "y" sont appelées le domaine de la fonction.

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Partie 1 sur 3: Trouver le domaine d'une fonction

1. 1 Déterminez le type de fonction qui vous est confiée. La plage de valeurs de la fonction sont toutes les valeurs admissibles de "x" (tracées le long de l'axe horizontal), qui correspondent aux valeurs admissibles de "y". La fonction peut être quadratique ou contenir des fractions ou des racines. Pour trouver le domaine d'une fonction, vous devez d'abord déterminer le type de la fonction.
   • La fonction quadratique est : ax + bx + c : f (x) = 2x + 3x + 4
   • Une fonction contenant une fraction : f (x) = (/_X), f (x) = /_{(x - 1)} (etc).
   • Fonction contenant la racine : f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x (et ainsi de suite).
2. 2 Sélectionnez l'entrée appropriée pour l'étendue de la fonction. La portée est écrite en carré et/ou entre parenthèses. Un crochet est utilisé lorsqu'une valeur est dans la portée d'une fonction ; si la valeur n'est pas dans la portée, une parenthèse est utilisée. Si la fonction a plusieurs domaines de définition non contigus, le symbole "U" est placé entre eux.
   • Par exemple, le domaine [-2,10) U (10,2] comprend les valeurs -2 et 2, mais n'inclut pas la valeur 10.
   • Les parenthèses sont toujours utilisées avec le symbole de l'infini ∞.
3. 3 Tracer une fonction quadratique. Le graphe d'une telle fonction est une parabole dont les branches sont dirigées soit vers le haut, soit vers le bas. Étant donné que la parabole augmente ou diminue sur l'ensemble de l'axe X, le domaine de la fonction quadratique est constitué de nombres réels. En d'autres termes, le domaine d'une telle fonction est l'ensemble R (R désigne tous les nombres réels).
   • Pour une meilleure compréhension du concept d'une fonction, choisissez n'importe quelle valeur de "x", remplacez-la dans la fonction et trouvez la valeur "y". La paire de valeurs "x" et "y" représente un point de coordonnées (x, y), qui se trouve sur le graphe de la fonction.
   • Dessinez ce point sur le plan de coordonnées et suivez le processus décrit avec une valeur "x" différente.
   • En traçant plusieurs points sur le plan de coordonnées, vous aurez une idée générale de la forme du graphe de la fonction.
4. 4 Si la fonction contient une fraction, définissez son dénominateur sur zéro. N'oubliez pas que vous ne pouvez pas diviser par zéro. Par conséquent, en égalant le dénominateur à zéro, vous trouverez des valeurs pour "x" qui n'entrent pas dans le cadre de la fonction.
   • Par exemple, trouvez le domaine de la fonction f (x) = /_{(x - 1)}.
   • Ici, le dénominateur est (x - 1).
   • Égalisez le dénominateur à zéro et trouvez "x": x - 1 = 0; x = 1.
   • Notez la portée de la fonction. Le domaine n'inclut pas 1, c'est-à-dire qu'il inclut tous les nombres réels sauf 1. Ainsi, le domaine de la fonction est : (-∞, 1) U (1, ∞).
   • La notation (-∞, 1) U (1, ∞) se lit comme ceci : l'ensemble de tous les nombres réels sauf 1. Le symbole de l'infini ∞ signifie tous les nombres réels. Dans notre exemple, tous les nombres réels supérieurs à 1 et inférieurs à 1 sont inclus dans la portée.
5. 5 Si la fonction contient une racine carrée, l'expression radicale doit être supérieure ou égale à zéro. N'oubliez pas que la racine carrée des nombres négatifs n'est pas extraite. Par conséquent, toute valeur de "x" à laquelle l'expression radicale devient négative doit être exclue de la portée de la fonction.
   • Par exemple, trouvez le domaine de la fonction f (x) = √ (x + 3).
   • L'expression radicale : (x + 3).
   • L'expression radicale doit être supérieure ou égale à zéro : (x + 3) 0.
   • Trouvez "x": x -3.
   • La portée de cette fonction comprend l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à -3. Ainsi, le domaine est [-3, ∞).

Partie 2 sur 3: Trouver la plage d'une fonction quadratique

1. 1 Assurez-vous qu'on vous donne une fonction quadratique. La fonction quadratique a la forme : ax + bx + c : f (x) = 2x + 3x + 4. Le graphe d'une telle fonction est une parabole dont les branches sont dirigées soit vers le haut, soit vers le bas. Il existe différentes méthodes pour trouver la plage de valeurs d'une fonction quadratique.
   • Le moyen le plus simple de trouver la plage d'une fonction racine ou fraction est de représenter graphiquement cette fonction à l'aide d'une calculatrice graphique.
2. 2 Trouvez la coordonnée x du sommet du graphe de fonction. Dans le cas d'une fonction quadratique, trouvez l'abscisse du sommet de la parabole. Rappelez-vous que la fonction quadratique est : ax + bx + c. Pour calculer la coordonnée x, utilisez l'équation suivante : x = -b / 2a. Cette équation est une dérivée de la fonction quadratique fondamentale et décrit une tangente dont la pente est nulle (la tangente au sommet de la parabole est parallèle à l'axe X).
   • Par exemple, trouvez la plage de la fonction 3x + 6x -2.
   • Calculer la coordonnée x du sommet de la parabole : x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. 3 Trouvez la coordonnée y du sommet du graphe de fonction. Pour ce faire, remplacez la coordonnée trouvée "x" dans la fonction. La coordonnée "y" recherchée est la valeur limite de la plage de valeurs de la fonction.
   • Calculer la coordonnée y : y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5
   • Les coordonnées du sommet de la parabole de cette fonction sont (-1, -5).
4. 4 Déterminez la direction de la parabole en substituant au moins une valeur x dans la fonction. Choisissez n'importe quelle autre valeur x et branchez-la dans la fonction pour calculer la valeur y correspondante. Si la valeur trouvée "y" est supérieure à la coordonnée "y" du sommet de la parabole, alors la parabole est dirigée vers le haut. Si la valeur trouvée "y" est inférieure à la coordonnée "y" du sommet de la parabole, alors la parabole est dirigée vers le bas.
   • Remplacez x = -2 dans la fonction : y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
   • Les coordonnées du point sur la parabole sont (-2, -2).
   • Les coordonnées trouvées indiquent que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. Ainsi, la plage de fonctions comprend toutes les valeurs y supérieures ou égales à -5.
   • Plage de valeurs de cette fonction : [-5, ∞)
5. 5 La plage de valeurs d'une fonction s'écrit de la même manière que la plage de définition d'une fonction. Le crochet est utilisé lorsque la valeur est dans la plage de la fonction ; si la valeur n'est pas dans la plage, une parenthèse est utilisée. Si la fonction a plusieurs plages de valeurs non contiguës, le symbole "U" est placé entre elles.
   • Par exemple, la plage [-2,10) U (10,2] comprend les valeurs -2 et 2, mais n'inclut pas la valeur 10.
   • Les parenthèses sont toujours utilisées avec le symbole de l'infini ∞.

Partie 3 sur 3: Trouver la plage d'une fonction à l'aide de son graphique

1. 1 Tracez la fonction. Dans de nombreux cas, il est plus facile de trouver la plage de valeurs d'une fonction en traçant son graphique. La plage de valeurs de nombreuses fonctions avec des racines est (-∞, 0] ou [0, + ∞), puisque le sommet de la parabole dirigée vers la droite ou vers la gauche se trouve sur l'axe X. Dans ce cas , la plage comprend toutes les valeurs positives de "y" si la parabole est croissante, ou toutes les valeurs négatives de y si la parabole est décroissante. Les fonctions fractionnaires ont des asymptotes qui définissent leur plage.
   • Les sommets des graphiques de certaines fonctions avec des racines se trouvent au-dessus ou au-dessous de l'axe X. Dans ce cas, la plage de valeurs est déterminée par la coordonnée «y» du sommet de la parabole. Si, par exemple, la coordonnée "y" du sommet d'une parabole est -4 (y = -4) et que la parabole augmente, alors la plage de valeurs est [-4, + ∞).
   • La façon la plus simple de représenter graphiquement une fonction est d'utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel spécial.
   • Si vous n'avez pas de calculatrice graphique, créez un graphique approximatif en insérant plusieurs valeurs x dans la fonction et en calculant les valeurs y correspondantes. Tracez les points trouvés sur le plan de coordonnées pour avoir une idée générale de la forme du graphique.
2. 2 Trouvez le minimum de la fonction. Lorsque vous tracez une fonction, vous verrez le point auquel la fonction a une valeur minimale.S'il n'y a pas de minimum évident, alors il n'existe pas et le graphe de la fonction va jusqu'à -∞.
   • La plage de valeurs de la fonction comprend toutes les valeurs de "y" à l'exception des valeurs des asymptotes. Souvent, les plages de valeurs de telles fonctions s'écrivent comme suit : (-∞, 6) U (6, ∞).
3. 3 Déterminer le maximum de la fonction. Une fois que vous avez tracé une fonction, vous verrez le point auquel la fonction a sa valeur maximale. S'il n'y a pas de maximum évident, alors il n'existe pas, et le graphe de la fonction va vers + ∞.
4. 4 La plage de valeurs d'une fonction s'écrit de la même manière que la plage de définition d'une fonction. Le crochet est utilisé lorsque la valeur est dans la plage de la fonction ; si la valeur n'est pas dans la plage, une parenthèse est utilisée. Si la fonction a plusieurs plages de valeurs non contiguës, le symbole "U" est placé entre elles.
   • Par exemple, la plage [-2,10) U (10,2] comprend les valeurs -2 et 2, mais n'inclut pas la valeur 10.
   • Les parenthèses sont toujours utilisées avec le symbole de l'infini ∞.