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• Pas
• Méthode 1 sur 2: Méthode algébrique
• Méthode 2 sur 2: Méthode graphique
• Conseils
• Un avertissement

Les fonctions peuvent être paires, impaires ou générales (c'est-à-dire ni paires ni impaires). Le type de fonction dépend de la présence ou de l'absence de symétrie. La meilleure façon de déterminer le type de fonction est d'effectuer une série de calculs algébriques. Mais le type de la fonction peut aussi être découvert par son horaire. En apprenant à définir le type de fonctions, vous pouvez prédire le comportement de certaines combinaisons de fonctions.

Pas

Méthode 1 sur 2: Méthode algébrique

1. 1 Rappelez-vous quelles sont les valeurs opposées des variables. En algèbre, la valeur opposée d'une variable s'écrit avec un signe "-" (moins). Ceci est d'ailleurs vrai pour toute désignation de la variable indépendante (par la lettre ${ style d'affichage x}$ ou toute autre lettre). Si dans la fonction d'origine il y a déjà un signe négatif devant la variable, alors sa valeur opposée sera une variable positive. Vous trouverez ci-dessous des exemples de certaines variables et de leurs significations opposées :
   • Le sens inverse pour ${ style d'affichage x}$ est un ${ style d'affichage -x}$.
   • Le sens inverse pour ${ displaystyle q}$ est un ${ style d'affichage -q}$.
   • Le sens inverse pour ${ style d'affichage -w}$ est un ${ displaystyle w}$.
2. 2 Remplacez la variable explicative par sa valeur opposée. C'est-à-dire inverser le signe de la variable indépendante. Par exemple:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ se transforme en ${ style d'affichage f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ se transforme en ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ se transforme en ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Simplifiez la nouvelle fonction. À ce stade, vous n'avez pas besoin de substituer des valeurs numériques spécifiques à la variable indépendante. Il suffit de simplifier la nouvelle fonction f (-x) pour la comparer avec la fonction d'origine f (x). Rappelez-vous la règle de base de l'exponentiation : élever une variable négative à une puissance paire donnera une variable positive, et élever une variable négative à une puissance impaire donnera une variable négative.
   • ${ style d'affichage f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Comparez les deux fonctions. Comparez la nouvelle fonction simplifiée f (-x) avec la fonction originale f (x). Notez les termes correspondants des deux fonctions l'une sous l'autre et comparez leurs signes.
   • Si les signes des termes correspondants des deux fonctions coïncident, c'est-à-dire f (x) = f (-x), la fonction d'origine est paire. Exemple:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ et ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Ici, les signes des termes coïncident, donc la fonction d'origine est paire.
   • Si les signes des termes correspondants des deux fonctions sont opposés, c'est-à-dire f (x) = -f (-x), la fonction d'origine est paire. Exemple:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, mais ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Notez que si vous multipliez chaque terme de la première fonction par -1, vous obtenez la deuxième fonction. Ainsi, la fonction d'origine g (x) est impaire.
   • Si la nouvelle fonction ne correspond à aucun des exemples ci-dessus, il s'agit alors d'une fonction générale (c'est-à-dire ni paire ni impaire). Par exemple:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, mais ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Les signes des premiers termes des deux fonctions sont les mêmes, et les signes des seconds termes sont opposés. Cette fonction n'est donc ni paire ni impaire.

Méthode 2 sur 2: Méthode graphique

1. 1 Tracer un graphique de fonction. Pour ce faire, utilisez du papier millimétré ou une calculatrice graphique. Sélectionnez n'importe quel multiple des valeurs de variables explicatives numériques ${ style d'affichage x}$ et les brancher dans la fonction pour calculer les valeurs de la variable dépendante ${ style d'affichage y}$... Dessinez les coordonnées trouvées des points sur le plan de coordonnées, puis connectez ces points pour créer un graphique de la fonction.
   • Substituer des valeurs numériques positives dans la fonction ${ style d'affichage x}$ et les valeurs numériques négatives correspondantes. Par exemple, étant donné la fonction ${ style d'affichage f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Branchez les valeurs suivantes ${ style d'affichage x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Vous avez un point avec des coordonnées ${ style d'affichage (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Vous avez un point avec des coordonnées ${ style d'affichage (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Vous avez un point avec des coordonnées ${ style d'affichage (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Vous avez un point avec des coordonnées ${ style d'affichage (-2.9)}$.
2. 2 Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'axe des y. La symétrie fait référence à la mise en miroir du graphique autour de l'axe des ordonnées. Si la partie du graphique à droite de l'axe des y (variable explicative positive) coïncide avec la partie du graphique à gauche de l'axe des ordonnées (valeurs négatives de la variable explicative), le graphique est symétrique environ l'axe des Y. Si la fonction est symétrique par rapport à l'ordonnée, la fonction est paire.
   • Vous pouvez vérifier la symétrie du graphique par des points individuels. Si la valeur ${ style d'affichage y}$qui correspond à la valeur ${ style d'affichage x}$, correspond à la valeur ${ style d'affichage y}$qui correspond à la valeur ${ style d'affichage -x}$, la fonction est paire.Dans notre exemple avec la fonction ${ style d'affichage f (x) = 2x ^ {2} +1}$ on obtient les coordonnées de points suivantes :
     • (1.3) et (-1.3)
     • (2.9) et (-2.9)
   • Notez que lorsque x = 1 et x = -1, la variable dépendante est y = 3, et lorsque x = 2 et x = -2, la variable dépendante est y = 9. La fonction est donc paire. En fait, pour connaître la forme exacte d'une fonction, vous devez considérer plus de deux points, mais la méthode décrite est une bonne approximation.
3. 3 Vérifiez si le graphique de la fonction est symétrique par rapport à l'origine. L'origine est le point de coordonnées (0,0). La symétrie par rapport à l'origine signifie qu'une valeur positive ${ style d'affichage y}$ (avec une valeur positive ${ style d'affichage x}$) correspond à une valeur négative ${ style d'affichage y}$ (avec une valeur négative ${ style d'affichage x}$), et vice versa. Les fonctions impaires sont symétriques par rapport à l'origine.
   • Si nous substituons plusieurs valeurs positives et négatives correspondantes dans la fonction ${ style d'affichage x}$, valeurs ${ style d'affichage y}$ différera de signe. Par exemple, étant donné la fonction ${ style d'affichage f (x) = x ^ {3} + x}$... Substituez-y plusieurs valeurs ${ style d'affichage x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Vous avez un point avec des coordonnées (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}$... Nous avons un point de coordonnées (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Vous avez un point avec des coordonnées (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}$... Nous avons un point avec des coordonnées (-2, -10).
   • Ainsi, f (x) = -f (-x), c'est-à-dire que la fonction est impaire.
4. 4 Vérifiez si le graphique de la fonction a une symétrie. Le dernier type de fonction est une fonction dont le graphique n'a pas de symétrie, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de miroir à la fois autour de l'axe des ordonnées et autour de l'origine. Par exemple, étant donné la fonction ${ style d'affichage f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Substituer plusieurs valeurs positives et négatives correspondantes dans la fonction ${ style d'affichage x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Vous avez un point avec des coordonnées (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}$... Nous avons un point de coordonnées (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Vous avez un point avec des coordonnées (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}$... Nous avons un point de coordonnées (2, -2).
   • D'après les résultats obtenus, il n'y a pas de symétrie. Les valeurs ${ style d'affichage y}$ pour des valeurs opposées ${ style d'affichage x}$ ne coïncident pas et ne sont pas opposés. Ainsi, la fonction n'est ni paire ni impaire.
   • Notez que la fonction ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ peut s'écrire ainsi : ${ style d'affichage f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Lorsqu'elle est écrite sous cette forme, la fonction semble être paire car un exposant pair est présent. Mais cet exemple prouve que le type de fonction ne peut pas être déterminé rapidement si la variable indépendante est mise entre parenthèses. Dans ce cas, vous devez ouvrir les crochets et analyser les exposants reçus.

Conseils

• Si l'exposant de la variable indépendante est pair, alors la fonction est paire ; si l'exposant est impair, la fonction est impaire.

Un avertissement

• Cet article ne peut être appliqué qu'aux fonctions à deux variables, dont les valeurs peuvent être tracées sur le plan de coordonnées.