Contenu

• Avancer d'un pas
• Méthode 1 sur 3: Déterminez la zone en utilisant les côtés et l'apothème
• Méthode 2 sur 3: détermination de la zone en utilisant la longueur d'un côté
• Méthode 3 sur 3: Utilisation d'une formule
• Conseils

Un pentagone est un polygone à cinq côtés droits. Presque tous les problèmes que vous rencontrerez en cours de mathématiques impliqueront des pentagones réguliers, avec cinq côtés égaux. Il existe deux méthodes courantes pour calculer la superficie, en fonction de la quantité d'informations dont vous disposez.

Avancer d'un pas

Méthode 1 sur 3: Déterminez la zone en utilisant les côtés et l'apothème

1. Commencez par la longueur du côté et de l'apothème. Cette méthode fonctionne pour les pentagones réguliers, avec cinq côtés égaux. En plus de la longueur du côté, vous avez besoin de "l'apothème" du pentagone. L'apothème est la ligne allant du centre du pentagone à un côté qui coupe le côté perpendiculairement (c'est-à-dire à un angle de 90 °).
   • Ne confondez pas l'apothème avec le rayon d'un polygone, car il coupe un angle (sommet) au lieu d'un point au centre du côté. Si vous ne connaissez que la longueur d'un côté et le rayon, passez à la méthode suivante.
   • Nous utilisons un pentagone avec côté comme exemple 3 et apothème 2.
2. Divisez le pentagone en cinq triangles. Tracez cinq lignes à partir du centre du pentagone, chacune menant à un sommet (coin). Vous avez maintenant cinq triangles.
3. Calculez l'aire d'un triangle. Chaque triangle en a un base égal au côté du pentagone. Il en a aussi un la taille qui est égal à l'apothème. (N'oubliez pas que la hauteur d'un triangle est la longueur du côté perpendiculaire à la base et allant vers un sommet). Pour calculer l'aire d'un triangle, utilisez ½ x base x hauteur.
   • Dans notre exemple, l'aire du triangle est = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multipliez par cinq pour la superficie totale du pentagone. Nous avons divisé le pentagone en cinq triangles égaux. Pour calculer l'aire totale, multipliez l'aire d'un triangle par cinq.
   • Dans notre exemple, A (total du pentagone) = 5 x A (triangle) = 5 x 3 =15.

Méthode 2 sur 3: détermination de la zone en utilisant la longueur d'un côté

1. Commencez par la longueur d'un côté. Cette méthode ne fonctionne que pour les pentagones réguliers, qui ont cinq côtés de longueur égale.
   • Dans cet exemple, nous utiliserons un pentagone de longueur 7 pour chaque côté.
2. Divisez le pentagone en cinq triangles. Tracez une ligne du centre du pentagone à un sommet. Répétez cette opération pour chaque sommet. Vous avez maintenant cinq triangles, chacun de la même taille.
3. Divisez un triangle en deux. Tracez une ligne du centre du pentagone à la base d'un triangle. Cette ligne doit couper la base à un angle droit (90 °), ce qui divise le triangle en deux triangles égaux plus petits.
4. Étiquetez l'un des plus petits triangles. On peut déjà étiqueter un côté et un angle du petit triangle:
   • le base du triangle est ½ fois le côté du pentagone. Dans notre exemple, c'est ½ x 7 = 3,5 unités.
   • le angle au centre du pentagone se trouve toujours 36º. (En supposant que 360 ​​° pour un cercle complet, vous pouvez le diviser en 10 triangles plus petits. 360 ÷ 10 = 36, donc l'angle d'un tel triangle est de 36 °).
5. Calculez la hauteur du triangle. le la taille le côté de ce triangle est perpendiculaire au côté du pentagone menant au centre. Nous utilisons une trigonométrie simple pour déterminer la longueur de ce côté:
   • Dans un triangle rectangle, le tangente d'un angle égal à la longueur du côté opposé divisé par la longueur du côté adjacent.
   • Le côté opposé à l'angle de 36 ° est la base du triangle (la moitié du côté du pentagone). Le côté adjacent de l'angle de 36 ° correspond à la hauteur du triangle.
   • tan (36º) = opposé / adjacent
   • Dans notre exemple, tan (36º) = 3,5 / hauteur
   • hauteur x bronzage (36 °) = 3,5
   • hauteur = 3,5 / tan (36º)
   • hauteur = (environ) 4,8 .
6. Calculez l'aire du triangle. L'aire d'un triangle est égale à ½ base x sa hauteur. (A = ½bh.) Maintenant que vous connaissez la hauteur, entrez ces valeurs pour déterminer la hauteur de votre petit triangle.
   • Dans notre exemple, l'aire de l'un des petits triangles = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4.
7. Multipliez pour trouver l'aire du pentagone. L'un de ces plus petits triangles couvre 1/10 de la surface du pentagone. Pour l'aire totale, multipliez l'aire du plus petit triangle par 10.
   • Dans notre exemple, l'aire du pentagone entier est = 8,4 x 10 =84.

Méthode 3 sur 3: Utilisation d'une formule

1. Utilisez le contour et l'apothème. L'apothème est une ligne partant du centre d'un pentagone qui coupe un côté à angle droit. Si la longueur est donnée, vous pouvez utiliser cette formule simple.
   • Aire d'un pentagone régulier =papa / 2, où p= la circonférence et une= l'apothème.
   • Si vous ne connaissez pas la circonférence, calculez-la en utilisant la longueur du côté: p = 5s, où s est la longueur du côté.
2. Utilisez la longueur du côté. Si vous ne connaissez que la longueur des côtés, utilisez la formule suivante:
   • Aire d'un pentagone régulier = (5s ) / (4tan (36º)), où s= longueur d'un côté.
   • bronzage (36 °) = √ (5-2√5). Si votre calculatrice n'a pas de fonction bronzage, utilisez la formule de la surface: Zone = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Choisissez une formule qui utilise uniquement le rayon. Vous pouvez même trouver la zone si vous ne connaissez que le rayon. Utilisez la formule suivante:
   • L'aire d'un pentagone régulier = (5/2)rsin (72º), où r le rayon est.

Conseils

• Les pentagones irréguliers ou pentagones avec des côtés inégaux sont plus difficiles à étudier. La meilleure approche consiste généralement à diviser le pentagone en triangles et à ajouter les aires de tous les triangles. Vous devrez peut-être également dessiner une forme plus grande autour du pentagone, calculer sa surface, puis soustraire la surface de l'espace supplémentaire.
• Si possible, utilisez à la fois une méthode géométrique et une formule et comparez les résultats pour vérifier votre réponse. Les réponses peuvent être légèrement différentes si vous remplissez complètement la formule en une seule fois (car les étapes auxquelles vous avez terminé sont manquantes), mais elles doivent être très proches les unes des autres.
• Les exemples donnés ici utilisent des valeurs arrondies pour faciliter leurs calculs. Si vous avez un vrai polygone avec les longueurs de côté données, vous obtiendrez des résultats légèrement différents pour les autres longueurs et la zone.
• Les formules sont dérivées de méthodes géométriques, similaires à celles décrites ici. Essayez de comprendre comment les déduire vous-même. La formule de rayon est plus difficile à dériver que les autres (indice: vous avez besoin de l'identité à double angle).