Équations quadratiques factorielles

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Contenu

Avancer d'un pas
Le début
Méthode 1 sur 6: essai et erreur
Méthode 2 sur 6: Décomposition
Méthode 3 sur 6: Triple Play
Méthode 4 sur 6: la différence entre deux carrés
Méthode 5 sur 6: La formule ABC
Méthode 6 sur 6: Utilisation d'une calculatrice
Conseils
Mises en garde
Nécessités

Un polynôme contient une variable (x) à une certaine puissance et plusieurs termes et / ou constantes. Pour factoriser un polynôme, vous devrez diviser l'expression en expressions plus petites qui sont multipliées ensemble. Cela nécessite un certain niveau de mathématiques et peut donc être difficile à comprendre si vous n'êtes pas encore aussi loin.

Avancer d'un pas

Le début

L'équation. Le format standard d'une équation quadratique est:

hache + bx + c = 0
Commencez par organiser les termes de votre équation de la puissance la plus élevée à la puissance la plus basse. Par exemple, prenez:

6 + 6x + 13x = 0
Nous allons réorganiser cette expression pour qu'elle devienne plus facile à travailler - simplement en déplaçant les termes:

6x + 13x + 6 = 0
Trouvez les facteurs en utilisant l'une des méthodes ci-dessous. La factorisation du polynôme se traduira par deux expressions plus petites qui peuvent être multipliées ensemble pour obtenir le polynôme d'origine:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Dans cet exemple, (2x +3) et (3x + 2) sont les facteurs à partir de l'expression originale, 6x + 13x + 6.
Vérifie ton travail! Multipliez les facteurs que vous avez trouvés. Combinez les mêmes termes et vous avez terminé. Commencer avec:

(2x + 3) (3x + 2)
Testons cela en multipliant les termes en utilisant EBBL (premier - extérieur - intérieur - dernier), ce qui nous donne:

6x + 4x + 9x + 6
Maintenant, nous ajoutons 4x et 9x ensemble car ce sont des termes égaux. Nous savons que les facteurs sont corrects car nous récupérons l'équation avec laquelle nous avons commencé:

6x + 13x + 6

Méthode 1 sur 6: essai et erreur

Si vous avez un polynôme assez simple, vous pourrez peut-être voir immédiatement quels sont les facteurs. Par exemple, après un peu de pratique, de nombreux mathématiciens sont capables de voir l'expression 4x + 4x + 1 a les facteurs (2x + 1) et (2x + 1) simplement parce qu'ils l'ont vu tant de fois. (Évidemment, ce ne sera pas aussi simple avec des polynômes plus compliqués.) Prenons une expression moins standard pour cet exemple:

3x + 2x - 8

Notez les facteurs de la une terme et le c terme. Utilisez le format hache + bx + c = 0, reconnaissez le une et c termes et notez les facteurs qui existent. Pour 3x + 2x - 8, cela signifie:

a = 3 et a 1 paire de facteurs: 1 * 3
c = -8 et cela a 4 paires de facteurs: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 et -1 * 8.
Notez deux paires de parenthèses avec un espace vide. Ici, vous entrez les constantes de chaque expression:

(x) (x)
Remplissez l'espace avant les x avec un certain nombre de facteurs possibles du une valeur. Pour le une terme dans notre exemple, 3x, il n'y a qu'une seule possibilité:

(3x) (1x)
Remplissez les 2 espaces après les x avec quelques facteurs pour les constantes. Supposons que nous choisissions 8 et 1. Entrez ceci:

(3x8)(X1)
Déterminez quels signes (plus ou moins) doivent se trouver entre les variables x et les nombres. En fonction des caractères de l'expression d'origine, il est possible de savoir quels devraient être les caractères des constantes. Prenons les deux constantes des deux facteurs h et k à mentionner:

Si ax + bx + c alors (x + h) (x + k)
Si ax - bx - c ou ax + bx - c alors (x - h) (x + k)
Si ax - bx + c alors (x - h) (x - k)
Dans notre exemple, 3x + 2x - 8, le signe est: (x - h) (x + k), ce qui nous donne les deux facteurs suivants:

(3x + 8) et (x - 1)
Testez votre choix avec la multiplication premier-extérieur-intérieur-dernier. Un premier test rapide pour voir si le moyen terme est au moins la valeur correcte. Sinon, vous avez probablement le mauvais c facteurs choisis. Testons la réponse:

(3x + 8) (x - 1)
Par multiplication, nous obtenons:

3x - 3x + 8x - 8
Simplifiez cette expression en ajoutant les termes similaires (-3x) et (8x), et nous obtenons:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Nous savons maintenant que nous avons pris les mauvais facteurs:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Changez vos choix, si nécessaire. Dans notre exemple, essayons 2 et 4, au lieu de 1 et 8:

(3x + 2) (x - 4)
Maintenant notre c terme égal à -8, mais le produit extérieur / intérieur de (3x * -4) et (2 * x) est -12x et 2x, ce qui n'est pas le bon b terme ou + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Inversez l'ordre si nécessaire. Essayons de retourner 2 et 4:

(3x + 4) (x - 2)
Maintenant notre c term (4 * 2 = 8) et toujours correct, mais les produits extérieurs / intérieurs sont -6x et 4x. Lorsque nous combinons ces éléments, nous obtenons:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Nous nous rapprochons maintenant de 2x où nous voulons être, mais le signe n'est pas encore correct.
Vérifiez vos caractères si nécessaire. Nous conservons cet ordre, mais échangeons-le avec le signe moins:

(3x - 4) (x + 2)
Maintenant le c terme toujours correct, et les produits externes / internes sont maintenant (6x) et (-4x). Parce que:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Nous voyons maintenant le 2x positif en arrière du problème d'origine. Ce doivent être les bons facteurs.

Méthode 2 sur 6: Décomposition

Cette méthode en donne tous les facteurs possibles une et c termes et les utilise pour découvrir quels facteurs sont corrects. Si les nombres sont très grands ou si les conjectures d'autres méthodes vont prendre trop de temps, utilisez cette méthode. Un exemple:

6x + 13x + 6

Multipliez le une terme avec le c terme. Dans cet exemple, une vaut 6 et c est également 6.

6 * 6 = 36
Trouvez le b terme par factorisation et test. Nous recherchons 2 nombres qui sont des facteurs de une * c , et ensemble le b terme (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Remplacez les deux nombres que vous obtenez dans votre équation par la somme des b terme. Allons k et h pour représenter les 2 nombres que nous avons, 4 et 9:

hache + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Factorisez le polynôme par groupement. Organisez l'équation de manière à pouvoir séparer le plus grand diviseur commun des deux premiers termes et des deux derniers termes. Les deux facteurs devraient être les mêmes. Ajoutez les GGD ensemble et placez-les entre parenthèses, à côté des facteurs; en conséquence, vous obtenez les deux facteurs:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Méthode 3 sur 6: Triple Play

Similaire à la méthode de décomposition. La méthode du "triple play" examine les facteurs possibles du produit de une et c et utilisez-le pour découvrir ce b doit être. Prenons l'équation comme exemple:

8x + 10x + 2

Multipliez le une terme avec le c terme. Comme pour la méthode de décomposition, nous l'utilisons pour déterminer les candidats pour le b terme. Dans cet exemple: une vaut 8 et c est 2.

8 * 2 = 16
Trouvez les 2 nombres avec ce nombre comme produit et avec une somme égale au b terme. Cette étape est la même que la méthode de décomposition - nous testons les candidats pour les constantes. Le produit de la une et c termes est 16, et le c le terme est 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Prenez ces 2 numéros et remplacez-les dans la formule "triple play". Prenez les 2 chiffres de l'étape précédente - obtenons-les h et k appelez-les - et mettez-les dans l'expression:

((ax + h) (ax + k)) / a

Avec cela, nous obtenons:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Voyez lequel des deux termes du dénominateur peut être entièrement divisé par une. Dans cet exemple, nous cherchons à savoir si (8x + 8) ou (8x + 2) peut être divisé par 8. (8x + 8) est divisible par 8, nous divisons donc ce terme par une et nous laissons l'autre intact.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Le terme que nous avons retenu ici est celui qui reste après la division par le une terme: (x + 1)
Prenez le plus grand diviseur commun (pgcd) de l'un ou des deux termes, si possible. Dans cet exemple, nous voyons que le deuxième terme a un pgcd de 2, car 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinez cette réponse avec le terme que vous avez découvert à l'étape précédente. Ce sont les facteurs de votre comparaison.

2 (x + 1) (4x + 1)

Méthode 4 sur 6: la différence entre deux carrés

Vous pouvez reconnaître certains coefficients dans un polynôme comme des «carrés», ou aussi comme le produit de 2 nombres identiques. En identifiant les carrés, vous pourrez peut-être factoriser les polynômes beaucoup plus rapidement. Nous prenons l'équation:

27x - 12 = 0

Supprimez le pgcd de l'équation, si possible. Dans ce cas, nous voyons que 27 et 12 sont tous deux divisibles par 3, nous pouvons donc les placer séparément:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Déterminez si les coefficients de votre équation sont des carrés. Pour utiliser cette méthode, il est nécessaire de déterminer la racine des termes. (Notez que nous avons omis les signes moins - puisque ces nombres sont des carrés, ils peuvent être le produit de 2 nombres négatifs)

9x = 3x * 3x et 4 = 2 * 2
En utilisant la racine carrée que vous avez déterminée, vous pouvez maintenant écrire les facteurs. Nous prenons le une et c valeurs de l'étape précédente: une = 9 et c = 4, donc les racines de ceci sont: - √une = 3 et √c = 2. Voici les coefficients des expressions factorisées:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Méthode 5 sur 6: La formule ABC

Si rien ne semble fonctionner et que vous ne pouvez pas résoudre l'équation, utilisez la formule abc. Prenons l'exemple suivant:

x + 4x + 1 = 0

Entrez les valeurs correspondantes dans la formule abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Nous obtenons maintenant l'expression:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Résoudre pour x. Vous devriez maintenant obtenir 2 valeurs pour x. Ceux-ci sont:

x = -2 + √ (3) ou x = -2 - √ (3)
Utilisez les valeurs de x pour déterminer les facteurs. Entrez les valeurs x obtenues dans les deux équations sous forme de constantes. Ce sont vos facteurs. Si nous répondons aux deux h et k nous notons les deux facteurs comme suit:

(x - h) (x - k)
Dans ce cas, la réponse finale est:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Méthode 6 sur 6: Utilisation d'une calculatrice

S'il est permis (ou obligatoire) d'utiliser une calculatrice graphique, cela facilite grandement l'affacturage, en particulier pour les examens et les examens. Les instructions suivantes concernent une calculatrice graphique TI. Nous utilisons l'équation de l'exemple:

y = x - x - 2

Entrez l'équation dans votre calculatrice. Vous utiliserez le solveur d'équations, également connu sous le nom d'écran [Y =].
Tracez l'équation avec la calculatrice. Une fois que vous avez entré l'équation, appuyez sur [GRAPH] - vous devriez maintenant voir une ligne courbe, une parabole comme représentation graphique de votre équation (et c'est une parabole car nous avons affaire à un polynôme).
Trouvez où la parabole coupe avec l'axe x. Puisqu'une équation quadratique s'écrit traditionnellement comme ax + bx + c = 0, ce sont les deux valeurs x qui rendent l'équation égale à zéro:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Si vous ne pouvez pas voir où la parabole croise l'axe des x, appuyez sur [2nd] puis sur [TRACE]. Appuyez sur [2] ou sélectionnez "zéro". Déplacez le curseur à gauche d'une intersection et appuyez sur [ENTER]. Déplacez le curseur à droite d'une intersection et appuyez sur [ENTER]. Déplacez le curseur aussi près que possible du point d'intersection et appuyez sur [ENTER]. La calculatrice indiquera la valeur x. Faites-le également pour l'autre intersection.
Entrez les valeurs x que vous avez obtenues dans les deux expressions factorisées. Si nous prenons les deux valeurs x h et k en tant que terme, l'expression que nous utilisons ressemble à ceci:

(x - h) (x - k) = 0
Ainsi, nos deux facteurs deviennent alors:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Conseils

Si vous avez factorisé le polynôme avec la formule abc et que votre réponse contient des racines, vous pouvez convertir les valeurs x en fractions pour les vérifier.
Si un terme n'a pas de coefficient devant lui, alors le coefficient est égal à 1, par exemple x = 1x.
Si vous possédez une calculatrice TI-84, il existe un programme appelé SOLVER qui peut résoudre une équation quadratique pour vous. Il résout également les polynômes de degré supérieur.
Après beaucoup de pratique, vous pourrez éventuellement résoudre des polynômes par cœur. Mais pour être prudent, il vaut mieux toujours les écrire.
Si un terme n'existe pas, le coefficient est nul. Ensuite, il peut être utile de réécrire l'équation. Par exemple. x + 6 = x + 0x + 6.

Mises en garde

Si vous apprenez ce concept en cours de mathématiques, faites attention à ce que l'enseignant explique et n'utilisez pas seulement votre méthode préférée. Vous pouvez être invité à utiliser une méthode spécifique pour un test, ou les calculatrices graphiques peuvent ne pas être autorisées.