Contenu

• Avancer d'un pas
• Méthode 1 sur 2: Méthode 1: multiplication croisée
• Méthode 2 sur 2: Méthode deux: trouver le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs
• Conseils

Une fonction rationnelle est une fraction avec une ou plusieurs variables dans le numérateur ou le dénominateur. Une équation rationnelle est une équation contenant au moins une expression rationnelle. Comme les équations algébriques courantes, les expressions rationnelles peuvent être résolues en appliquant la même opération aux deux côtés de l'équation jusqu'à ce que la variable soit isolée d'un côté du signe égal. Deux méthodes spéciales, la multiplication croisée et la recherche du plus petit multiple commun des dénominateurs, sont particulièrement utiles pour isoler des variables et résoudre des équations rationnelles.

Avancer d'un pas

Méthode 1 sur 2: Méthode 1: multiplication croisée

1. Si nécessaire, réorganisez l'équation pour vous assurer qu'il y a une fraction des deux côtés du signe égal. La multiplication croisée est une méthode rapide de résolution d'équations rationnelles. Malheureusement, cette méthode ne fonctionne que pour les équations rationnelles qui ont exactement une expression rationnelle ou une fraction des deux côtés du signe égal. Si ce n'est pas le cas pour votre équation, alors vous aurez probablement besoin de quelques opérations algébriques pour obtenir les termes au bon endroit.
   • Par exemple, l'équation (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 peut facilement être convertie en la forme de multiplication croisée correcte, en ajoutant x / (- 2) de chaque côté de l'équation, ce qui en fait un résultat ressemble à ceci: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • N'oubliez pas que les nombres décimaux et les nombres entiers peuvent être convertis en fractions en leur donnant le dénominateur 1. (x + 3) / 4 - 2,5 = 5, par exemple, peut être réécrit comme (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, ce qui permet d'appliquer une multiplication croisée.
   • Certaines équations rationnelles ne peuvent pas être converties aussi facilement sous la forme correcte. Dans ces cas, utilisez les méthodes où vous utilisez le plus petit multiple commun des dénominateurs.
2. Multiplication croisée. La multiplication croisée signifie simplement multiplier le numérateur d'une fraction par le dénominateur de l'autre et vice versa. Multipliez le numérateur de la fraction à gauche du signe égal par la fraction à droite. Répétez avec le numérateur à droite et le dénominateur de la fraction à gauche.
   • La multiplication croisée fonctionne selon les principes algébriques courants. Les expressions rationnelles et autres fractions peuvent être converties en nombres réguliers en multipliant les dénominateurs. Fondamentalement, la multiplication croisée est un moyen pratique de multiplier les deux côtés de l'équation par les deux dénominateurs des fractions. Tu ne le crois pas? Essayez-le - vous verrez les mêmes résultats après avoir simplifié.
3. Rendez les deux produits égaux. Après multiplication croisée, il vous reste deux produits. Rendez ces deux termes égaux et simplifiez-les pour obtenir les termes les plus simples de chaque côté de l'équation.
   • Par exemple, si (x + 3) / 4 = x / (- 2) était votre expression rationnelle d'origine, alors après multiplication croisée, elle devient égale à -2 (x + 3) = 4x. Cela peut éventuellement être réécrit comme -2x - 6 = 4x.
4. Résolvez la variable. Utilisez des opérations algébriques pour trouver la valeur de la variable dans l'équation. N'oubliez pas que si x apparaît des deux côtés du signe égal, puis en ajoutant ou en soustrayant un terme x, assurez-vous qu'il n'y a que x termes d'un côté du signe égal.
   • Dans notre exemple, il est possible de diviser les deux côtés de l'équation par -2, ce qui nous donne x + 3 = -2x. Soustraire x des deux côtés du signe égal nous donne 3 = -3x. Et enfin, en divisant les deux côtés par -3, nous obtenons -1 = x, ou aussi x = -1. Maintenant, nous avons trouvé x qui résout notre équation rationnelle.

Méthode 2 sur 2: Méthode deux: trouver le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs

1. Comprendre quand trouver le plus petit multiple commun de dénominateurs est évident. Le moindre commun multiple (LCM) des dénominateurs peut être utilisé pour simplifier les équations rationnelles, ce qui permet de trouver les valeurs de leurs variables. Trouver un LCM est une bonne idée si l'équation rationnelle ne peut pas être facilement réécrite sous une forme où il n'y a qu'une seule fraction ou expression rationnelle de chaque côté du signe égal. Pour résoudre des équations rationnelles avec trois termes ou plus, les LCM sont un outil utile. Mais pour résoudre des équations rationnelles avec seulement deux termes, la multiplication croisée est souvent plus rapide.
2. Examinez le dénominateur de chaque fraction. Trouvez le plus petit nombre complètement divisible par n'importe quel dénominateur. C'est le LCM de votre équation.
   • Parfois, le plus petit multiple commun - le plus petit nombre qui est complètement divisible par chacun des dénominateurs - est immédiatement apparent. Par exemple, si votre expression ressemble à x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, alors il est facile de voir que le LCM doit être divisible par 3, 2 et 6 et donc égal à 6.
   • Mais le plus souvent, le LCM d'une comparaison rationnelle n'est pas immédiatement clair du tout. Dans ces cas, essayez les multiples du plus grand dénominateur jusqu'à ce que vous trouviez un nombre qui inclut les multiples des autres dénominateurs plus petits. Souvent, le LCM est le produit de deux dénominateurs. Par exemple, prenez l'équation x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, où le LCM est égal à 8 * 9 = 72.
   • Si un ou plusieurs dénominateurs contiennent une variable, ce processus sera un peu plus difficile, mais il n'est en aucun cas impossible. Dans ces cas, le LCM est une expression (avec des variables) qui correspond parfaitement à tous les dénominateurs, pas seulement à un seul nombre. À titre d'exemple, l'équation 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), où le LCM est égal à 3x (x-1), car il est complètement divisible par n'importe quel dénominateur - division par (x- 1 ) donne 3x, la division par 3x donne (x-1) et la division par x donne 3 (x-1).
3. Multipliez chaque fraction de l'équation rationnelle par 1. Multiplier chaque terme par 1 peut sembler inutile, mais il y a une astuce ici. À savoir, 1 peut être écrit sous forme de fraction - par exemple 2/2 et 3/3. Multipliez chaque fraction de votre équation rationnelle par 1, en écrivant 1 à chaque fois comme nombre ou terme multiplié par chaque dénominateur pour donner le LCM sous forme de fraction.
   • Dans notre exemple, nous pouvons multiplier x / 3 par 2/2 pour obtenir 2x / 6 et multiplier 1/2 par 3/3 pour obtenir 3/6. 3x +1/6 a déjà un 6 (lcm) comme dénominateur, nous pouvons donc le multiplier par 1/1 ou simplement le laisser.
   • Dans notre exemple avec des variables dans les dénominateurs, l'ensemble du processus est un peu plus compliqué. Puisque le LCM est égal à 3x (x-1), nous multiplions chaque expression rationnelle par une fraction qui donne 3x (x-1) comme dénominateur. On multiplie 5 / (x-1) par (3x) / (3x) et cela donne 5 (3x) / (3x) (x-1), on multiplie 1 / x par 3 (x-1) / 3 (x -1) et cela donne 3 (x-1) / 3x (x-1) et on multiplie 2 / (3x) par (x-1) / (x-1) et cela donne finalement 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Simplifiez et résolvez pour x. Maintenant que chaque terme de votre équation rationnelle a le même dénominateur, il est possible d'éliminer les dénominateurs de l'équation et de résoudre les numérateurs. Multipliez simplement les deux côtés de l'équation par le LCM pour vous débarrasser des dénominateurs de sorte qu'il ne vous reste que les numérateurs. Maintenant, c'est devenu une équation régulière que vous pouvez résoudre pour la variable en l'isolant d'un côté du signe égal.
   • Dans notre exemple, après avoir multiplié, en utilisant 1 comme fraction, nous obtenons 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Deux fractions peuvent être ajoutées si elles ont le même dénominateur, nous pouvons donc écrire cette équation comme (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 sans changer sa valeur. Multipliez les deux côtés par 6 pour annuler les dénominateurs, laissant 2x + 3 = 3x + 1. Ici, soustrayez 1 des deux côtés pour laisser 2x + 2 = 3x et soustrayez 2x des deux côtés pour laisser 2 = x, qui peut alors s'écrire x = 2 également.
   • Dans notre exemple avec des variables dans les dénominateurs, l'équation après avoir multiplié chaque terme par "1" est égale à 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Multiplier chaque terme par le LCM permet d'annuler les dénominateurs, ce qui nous donne maintenant 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Élaboré plus loin, cela devient 15x = 3x - 3 + 2x -2, qui peut être à nouveau simplifié comme 15x = x - 5. Soustraire x des deux côtés donne 14x = -5, de sorte que la réponse finale peut être simplifiée à x = - 5/14.

Conseils

• Une fois que vous avez trouvé la valeur de la variable, vérifiez votre réponse en entrant cette valeur dans l'équation d'origine. Si vous obtenez la bonne valeur de la variable, vous devriez être en mesure de simplifier l'équation en un théorème simple et correct, tel que 1 = 1.
• Chaque équation peut être écrite comme une expression rationnelle; placez-le simplement comme un numérateur au-dessus du dénominateur 1. Ainsi, l'équation x + 3 peut être écrite comme (x + 3) / 1, les deux ont la même valeur.