Contenu

• Pas
• Méthode 1 sur 4: Monôme au dénominateur
• Méthode 2 sur 4: Binôme au dénominateur
• Méthode 3 sur 4: Expression inverse
• Méthode 4 sur 4: Dénominateur de racine cubique

En mathématiques, il n'est pas d'usage de laisser une racine ou un nombre irrationnel au dénominateur d'une fraction. Si le dénominateur est une racine, multipliez la fraction par un terme ou une expression pour vous débarrasser de la racine. Les calculatrices modernes vous permettent de travailler avec des racines dans le dénominateur, mais le programme éducatif exige que les élèves soient capables de se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur.

Pas

Méthode 1 sur 4: Monôme au dénominateur

1. 1 Apprenez la fraction. La fraction est écrite correctement s'il n'y a pas de racine au dénominateur. Si le dénominateur a un carré ou toute autre racine, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par un monôme pour vous débarrasser de la racine. Veuillez noter que le numérateur peut contenir une racine - c'est normal.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • Le dénominateur ici a une racine ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Multipliez le numérateur et le dénominateur par la racine du dénominateur. Si le dénominateur contient un monôme, il est assez facile de rationaliser une telle fraction. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même monôme (c'est-à-dire que vous multipliez la fraction par 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Si vous entrez une expression pour une solution sur une calculatrice, assurez-vous de mettre des parenthèses autour de chaque partie pour les séparer.
3. 3 Simplifiez la fraction (si possible). Dans notre exemple, il peut être abrégé en divisant le numérateur et le dénominateur par 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Méthode 2 sur 4: Binôme au dénominateur

1. 1 Apprenez la fraction. Si son dénominateur contient la somme ou la différence de deux monômes, dont l'un contient une racine, il est impossible de multiplier la fraction par un tel binôme pour se débarrasser de l'irrationalité.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Pour comprendre cela, écrivez la fraction ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$où le monôme ${ style d'affichage a}$ ou alors ${ style d'affichage b}$ contient la racine. Dans ce cas: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Ainsi, le monôme ${ style d'affichage 2ab}$ inclura toujours la racine (si ${ style d'affichage a}$ ou alors ${ style d'affichage b}$ contient la racine).
   • Regardons notre exemple.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { carré {2}})} {4 + 4 { carré {2}} + 2}}}$
   • Vous voyez que vous ne pouvez pas vous débarrasser du monôme au dénominateur ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Multipliez le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué du binôme au dénominateur. Un binôme conjugué est un binôme avec le même monôme, mais avec le signe opposé entre eux. Par exemple, binôme ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ conjugué à un binôme ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Comprendre le sens de cette méthode. Considérez à nouveau la fraction ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Multipliez le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué au binôme au dénominateur : ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Ainsi, il n'y a pas de monômes qui contiennent des racines. Depuis les monômes ${ style d'affichage a}$ et ${ style d'affichage b}$ sont au carré, les racines seront éliminées.
3. 3 Simplifiez la fraction (si possible). S'il y a un facteur commun au numérateur et au dénominateur, annulez-le. Dans notre cas, 4 - 2 = 2, ce qui peut être utilisé pour réduire la fraction.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Méthode 3 sur 4: Expression inverse

1. 1 Examinez le problème. Si vous avez besoin de trouver une expression qui est l'inverse de celle donnée, qui contient une racine, vous devrez rationaliser la fraction résultante (et alors seulement la simplifier). Dans ce cas, utilisez la méthode décrite dans la première ou la deuxième section (selon la tâche).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Écrivez l'expression opposée. Pour ce faire, divisez 1 par l'expression donnée ; si une fraction est donnée, échangez le numérateur et le dénominateur. N'oubliez pas que toute expression est une fraction avec 1 au dénominateur.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2} - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Multipliez le numérateur et le dénominateur par une expression pour vous débarrasser de la racine. En multipliant le numérateur et le dénominateur par la même expression, vous multipliez la fraction par 1, c'est-à-dire que la valeur de la fraction ne change pas. Dans notre exemple, on nous donne un binôme, multipliez donc le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Simplifiez la fraction (si possible). Dans notre exemple, 4 - 3 = 1, donc l'expression au dénominateur de la fraction peut être complètement annulée.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • La réponse est un binôme conjugué à ce binôme. C'est juste une coïncidence.

Méthode 4 sur 4: Dénominateur de racine cubique

1. 1 Apprenez la fraction. Le problème peut contenir des racines cubiques, bien que cela soit assez rare. La méthode décrite est applicable aux racines de tout degré.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Réécrivez la racine comme une puissance. Ici, vous ne pouvez pas multiplier le numérateur et le dénominateur par un monôme ou une expression, car la rationalisation est effectuée d'une manière légèrement différente.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par une puissance de sorte que l'exposant au dénominateur devienne 1. Dans notre exemple, multipliez la fraction par ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... N'oubliez pas que lorsque les degrés sont multipliés, leurs indicateurs s'additionnent : ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Cette méthode est applicable à toutes les racines de degré n. Si une fraction est donnée ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, multiplier le numérateur et le dénominateur par ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Ainsi, l'exposant au dénominateur devient 1.
4. 4 Simplifiez la fraction (si possible).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Si nécessaire, notez la racine dans la réponse. Dans notre exemple, factorisez l'exposant en deux facteurs : ${ style d'affichage 1/3}$ et ${ style d'affichage 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$