Contenu

• Information préliminaire
• Pas
• Partie 1 sur 3: Les bases
• Partie 2 sur 3: Propriétés de la transformée de Laplace
• Partie 3 sur 3: Trouver la transformation de Laplace par extension de série

La transformée de Laplace est une transformée intégrale utilisée pour résoudre des équations différentielles à coefficients constants. Cette transformation est largement utilisée en physique et en ingénierie.

Bien que vous puissiez utiliser les tableaux appropriés, il est utile de comprendre la transformation de Laplace afin de pouvoir le faire vous-même si nécessaire.

Information préliminaire

• Étant donné une fonction ${ style d'affichage f (t)}$défini pour ${ style d'affichage t geq 0.}$ Puis transformation de Laplace une fonction ${ style d'affichage f (t)}$ est la fonction suivante de chaque valeur ${ style d'affichage s}$, en laquelle l'intégrale converge :
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• La transformation de Laplace prend une fonction de la région t (échelle de temps) à la région s (région de transformation), où ${ style d'affichage F (s)}$ est une fonction complexe d'une variable complexe. Il vous permet de déplacer la fonction vers une zone où une solution peut être trouvée plus facilement.
• Évidemment, la transformée de Laplace est un opérateur linéaire, donc si nous avons affaire à une somme de termes, chaque intégrale peut être calculée séparément.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Rappelez-vous que la transformée de Laplace ne fonctionne que si l'intégrale converge. Si la fonction ${ style d'affichage f (t)}$ comporte des discontinuités, il faut être prudent et fixer correctement les limites de l'intégration afin d'éviter l'incertitude.

Pas

Partie 1 sur 3: Les bases

1. 1 Remplacez la fonction par la formule de transformation de Laplace. Théoriquement, la transformée de Laplace d'une fonction est très facile à calculer. A titre d'exemple, considérons la fonction ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, où ${ style d'affichage a}$ est une constante complexe avec ${ displaystyle nom_opérateur {Re} (s) nom_opérateur {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Estimer l'intégrale en utilisant les méthodes disponibles. Dans notre exemple, l'estimation est très simple et vous pouvez vous en tirer avec des calculs simples. Dans des cas plus complexes, des méthodes plus complexes peuvent être nécessaires, par exemple, l'intégration par parties ou la différenciation sous le signe intégral. Condition de contrainte ${ displaystyle nom_opérateur {Re} (s) nom_opérateur {Re} (a)}$ signifie que l'intégrale converge, c'est-à-dire que sa valeur tend vers 0 lorsque ${ displaystyle t à infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aligné}}}$
   • Notez que cela nous donne deux types de transformée de Laplace, avec sinus et cosinus, puisque selon la formule d'Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Dans ce cas, au dénominateur on obtient ${ displaystyle s-ia,}$ et il ne reste plus qu'à déterminer les parties réelle et imaginaire. Vous pouvez également évaluer le résultat directement, mais cela prendrait un peu plus de temps.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + un ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + un ^ {2}}}}$
3. 3 Considérons la transformée de Laplace d'une fonction puissance. Tout d'abord, vous devez définir la transformation de la fonction puissance, car la propriété de linéarité vous permet de trouver la transformation pour de tout polynômes. Une fonction de la forme ${ displaystyle t ^ {n},}$ où ${ style d'affichage n}$ - tout entier positif. Peut être intégré pièce par pièce pour définir une règle récursive.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ce résultat est exprimé implicitement, mais si vous substituez plusieurs valeurs ${ style d'affichage n,}$ vous pouvez établir un certain modèle (essayez de le faire vous-même), ce qui vous permet d'obtenir le résultat suivant :
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Vous pouvez également définir la transformée de Laplace des puissances fractionnaires à l'aide de la fonction gamma. Par exemple, de cette façon, vous pouvez trouver la transformation d'une fonction telle que ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Bien que les fonctions avec des puissances fractionnaires doivent avoir des coupes (rappelez-vous, tous les nombres complexes ${ style d'affichage z}$ et ${ style d'affichage alpha}$ peut être écrit comme ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, parce que le ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), elles peuvent toujours être définies de telle sorte que les coupes se situent dans le demi-plan gauche, et évitent ainsi les problèmes d'analyticité.

Partie 2 sur 3: Propriétés de la transformée de Laplace

1. 1 Trouvons la transformée de Laplace de la fonction multipliée par eunet{ displaystyle e ^ {at}}. Les résultats obtenus dans la section précédente nous ont permis de découvrir quelques propriétés intéressantes de la transformée de Laplace. La transformation de Laplace de fonctions telles que le cosinus, le sinus et la fonction exponentielle semble être plus simple que la transformation de la fonction puissance. Multiplication par ${ displaystyle e ^ {at}}$ dans la région t correspond à changement dans la région s :
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Cette propriété permet immédiatement de retrouver la transformation de fonctions telles que ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, sans avoir à calculer l'intégrale :
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Trouvons la transformée de Laplace de la fonction multipliée par tm{ displaystyle t ^ {n}}. Tout d'abord, considérons la multiplication par ${ style d'affichage t}$... Par définition, on peut différencier une fonction sous une intégrale et obtenir un résultat étonnamment simple :
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • En répétant cette opération, on obtient le résultat final :
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Bien que le réarrangement des opérateurs d'intégration et de différenciation nécessite une justification supplémentaire, nous ne le présenterons pas ici, mais notons seulement que cette opération est correcte si le résultat final a du sens. Vous pouvez également prendre en compte le fait que les variables ${ style d'affichage s}$ et ${ style d'affichage t}$ ne dépendent pas les uns des autres.
   • En utilisant cette règle, il est facile de trouver la transformation de fonctions telles que ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, sans réintégration par parties :
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Trouver la transformée de Laplace de la fonction F(unet){ displaystyle f (at)}. Cela peut être fait facilement en remplaçant la variable par u en utilisant la définition d'une transformation :
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F gauche ({ frac {s} {a}} droite) fin {aligné}}}$
   • Ci-dessus, nous avons trouvé la transformée de Laplace des fonctions ${ displaystyle sin at}$ et ${ displaystyle cos at}$ directement de la fonction exponentielle. En utilisant cette propriété, vous pouvez obtenir le même résultat si vous trouvez les parties réelle et imaginaire ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Trouver la transformée de Laplace de la dérivée F′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Contrairement aux exemples précédents, dans ce cas devoir intégrer morceau par morceau :
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligné}}}$
   • Puisque la dérivée seconde se produit dans de nombreux problèmes physiques, nous trouvons également la transformée de Laplace :
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Dans le cas général, la transformée de Laplace de la dérivée d'ordre n est définie comme suit (cela permet de résoudre des équations différentielles à l'aide de la transformée de Laplace) :
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Partie 3 sur 3: Trouver la transformation de Laplace par extension de série

1. 1 Trouvons la transformée de Laplace pour une fonction périodique. La fonction périodique satisfait la condition ${ style d'affichage f (t) = f (t + nT),}$ où ${ style d'affichage T}$ est la période de la fonction, et ${ style d'affichage n}$ est un entier positif. Les fonctions périodiques sont largement utilisées dans de nombreuses applications, notamment le traitement du signal et l'électrotechnique. En utilisant des transformations simples, nous obtenons le résultat suivant :
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { aligné}}}$
   • Comme vous pouvez le voir, dans le cas d'une fonction périodique, il suffit d'effectuer la transformée de Laplace pour une période.
2. 2 Effectuez la transformation de Laplace pour le logarithme népérien. Dans ce cas, l'intégrale ne peut pas être exprimée sous forme de fonctions élémentaires. L'utilisation de la fonction gamma et de son développement en série permet d'estimer le logarithme népérien et ses degrés. La présence de la constante d'Euler-Mascheroni ${ style d'affichage gamma}$ montre que pour estimer cette intégrale, il faut utiliser un développement en série.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Considérons la transformée de Laplace de la fonction sinus non normalisée. Une fonction ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ largement utilisé pour le traitement du signal, dans les équations différentielles, il est équivalent à la fonction de Bessel sphérique du premier type et d'ordre zéro ${ style d'affichage j_ {0} (x).}$ La transformée de Laplace de cette fonction ne peut pas non plus être calculée par des méthodes standard. Dans ce cas, la transformation des membres individuels de la série, qui sont des fonctions puissance, est effectuée, de sorte que leurs transformations convergent nécessairement sur un intervalle donné.
   • Tout d'abord, nous écrivons le développement de la fonction dans une série de Taylor :
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nous utilisons maintenant la transformée de Laplace déjà connue d'une fonction puissance. Les factorielles sont annulées, et en conséquence nous obtenons le développement de Taylor pour l'arctangente, c'est-à-dire une série alternée qui ressemble à la série de Taylor pour le sinus, mais sans factorielles :
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = somme _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$