Contenu

• Pas
• Partie 1 sur 2: Trouver les facteurs premiers
• Partie 2 sur 2: Utilisation des facteurs premiers
• Exemples de tâches
• Conseils
• Avertissements

Tout nombre naturel peut être décomposé en le produit de facteurs premiers. Si vous n'aimez pas traiter les grands nombres comme 5733, apprenez à les factoriser (dans ce cas, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Une tâche similaire est souvent rencontrée en cryptographie, qui traite des problèmes de sécurité de l'information. Si vous n'êtes pas encore prêt à créer votre propre système de messagerie sécurisé, apprenez d'abord à factoriser les nombres.

Pas

Partie 1 sur 2: Trouver les facteurs premiers

1. 1 Apprenez ce qu'est l'affacturage. La décomposition d'un nombre en le produit de facteurs est le processus consistant à le « diviser » en parties plus petites.Lorsqu'elles sont multipliées, ces parties, ou facteurs, donnent le nombre d'origine.
   • Par exemple, le nombre 18 peut être décomposé en les produits suivants : 1 x 18, 2 x 9 ou 3 x 6.
2. 2 Rappelez-vous ce que sont les nombres premiers. Un nombre premier n'est divisible que par deux nombres sans reste : par lui-même et par 1. Par exemple, le nombre 5 peut être représenté comme un produit de 5 et 1. Ce nombre ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs. Le but de la factorisation d'un nombre en facteurs premiers est de le représenter comme un produit de nombres premiers. Ceci est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de fractions, car cela vous permet de les comparer et de les simplifier.
3. 3 Commencez par le numéro d'origine. Choisissez un nombre composé supérieur à 3. Cela n'a aucun sens de prendre un nombre premier, puisqu'il n'est divisible que par lui-même et un.
   • Exemple : Décomposons le nombre 24 en produit de nombres premiers.
4. 4 Séparons ce nombre en le produit de deux facteurs. Trouvez deux nombres plus petits dont le produit est égal au nombre original. N'importe quel facteur peut être utilisé, mais il est plus facile de prendre des nombres premiers. Un bon moyen est d'essayer de diviser le nombre d'origine d'abord par 2, puis par 3, puis par 5, et de vérifier lequel de ces nombres premiers il divise sans reste.
   • Exemple : Si vous ne connaissez pas les facteurs de 24, essayez de le diviser par de petits nombres premiers. Vous constaterez donc que le nombre donné est divisible par 2: 24 = 2x12... C'est un bon début.
   • Puisque 2 est un nombre premier, il est bon de l'utiliser pour factoriser des nombres pairs.
5. 5 Commencez à construire l'arbre multiplicateur. Cette procédure simple vous aidera à factoriser un nombre. Pour commencer, dessinez deux « branches » vers le bas à partir du numéro d'origine. A la fin de chaque branche, écrivez les facteurs trouvés.
   • Exemple:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Factorisez la rangée de nombres suivante. Regardez les deux nouveaux nombres (deuxième rangée de l'arbre multiplicateur). Sont-ils tous les deux des nombres premiers ? Si l'un d'eux n'est pas simple, factorisez-le également par deux facteurs. Faites deux autres branches et écrivez deux nouveaux facteurs dans la troisième ligne de l'arbre.
   • Exemple : 12 n'est pas un nombre premier, il doit donc être factorisé. Utilisez la décomposition 12 = 2 x 6 et écrivez-la dans la troisième ligne de l'arbre :
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2x6
7. 7 Continuez en bas de l'arbre. Si l'un des nouveaux facteurs s'avère être un nombre premier, tirez-en une "branche" et écrivez le même nombre à sa fin. Les nombres premiers ne peuvent pas être développés en facteurs plus petits, il suffit donc de les déplacer d'un niveau vers le bas.
   • Exemple : 2 est premier. Déplacez simplement 2 de la deuxième à la troisième ligne :
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Continuez à factoriser les nombres jusqu'à ce qu'il ne vous reste que des nombres premiers. Vérifiez chaque nouvelle ligne de l'arbre. Si au moins un des nouveaux facteurs n'est pas un nombre premier, factorisez-le et écrivez une nouvelle ligne. Au final, il ne vous restera que des nombres premiers.
   • Exemple : 6 n'est pas un nombre premier, il doit donc également être factorisé. En même temps, 2 est un nombre premier, et nous portons les deux au niveau suivant :
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Écrivez la dernière ligne comme un produit de facteurs premiers. Au final, il ne vous restera que des nombres premiers. Lorsque cela se produit, la factorisation en nombres premiers est terminée. La dernière ligne est un ensemble de nombres premiers dont le produit donne le nombre d'origine.
   • Vérifiez votre réponse : multipliez les nombres de la dernière ligne. Le résultat doit être le numéro d'origine.
   • Exemple : La dernière ligne de l'arbre des facteurs contient les nombres 2 et 3. Ces deux nombres sont premiers, la décomposition est donc complète. Ainsi, la factorisation première de 24 a la forme suivante : 24 = 2x2x2x3.
   • L'ordre des facteurs n'a pas d'importance. La décomposition peut également être écrite sous la forme 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 Simplifiez votre réponse en utilisant la notation exponentielle, si vous le souhaitez. Si vous êtes familier avec l'exponentiation des nombres, vous pouvez écrire la réponse sous une forme plus simple.N'oubliez pas que la base est écrite en bas et que le nombre en exposant indique combien de fois cette base doit être multipliée par elle-même.
    • Exemple : combien de fois le nombre 2 apparaît-il dans la décomposition trouvée 2 x 2 x 2 x 3 ? Trois fois, donc l'expression 2 x 2 x 2 peut s'écrire 2. En notation simplifiée, on obtient 2x3.

Partie 2 sur 2: Utilisation des facteurs premiers

1. 1 Trouvez le plus grand commun diviseur de deux nombres. Le plus grand diviseur commun (GCD) de deux nombres est le nombre maximum par lequel les deux nombres sont divisibles sans reste. L'exemple ci-dessous montre comment utiliser la factorisation en nombres premiers pour trouver le plus grand diviseur commun de 30 et 36.
   • Considérons les deux nombres en facteurs premiers. Pour 30, la factorisation est de 2 x 3 x 5. Le nombre 36 se décompose en facteurs premiers comme suit : 2 x 2 x 3 x 3.
   • Trouvons le nombre qui se produit dans les deux extensions. Rayons ce numéro dans les deux listes et écrivons-le sur une nouvelle ligne. Par exemple, 2 se produit dans deux développements, nous écrivons donc 2 sur une nouvelle ligne. Après cela, nous avons 30 = 2 x 3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Répétez cette étape jusqu'à ce qu'il ne reste plus de facteurs communs dans les extensions. Les deux listes incluent également le chiffre 3, donc sur une nouvelle ligne, vous pouvez écrire 2 et 3... Puis comparez à nouveau les expansions : 30 = 2x3 x 5 et 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Comme vous pouvez le voir, ils ne contiennent plus de facteurs communs.
   • Pour trouver le plus grand facteur commun, trouvez le produit de tous les facteurs communs. Dans notre exemple, ce sont 2 et 3, donc le pgcd est 2 x 3 = 6... C'est le plus grand nombre qui divise également les nombres 30 et 36.
2. 2 Avec l'aide de GCD, vous pouvez simplifier les fractions. Si vous pensez qu'une fraction peut être annulée, utilisez le plus grand facteur commun. Trouvez le PGCD du numérateur et du dénominateur en utilisant la procédure ci-dessus. Divisez ensuite le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce nombre. En conséquence, vous obtenez la même fraction sous une forme plus simple.
   • Par exemple, simplifions la fraction /₃₆... Comme nous l'avons indiqué ci-dessus, pour 30 et 36, le PGCD est de 6, nous divisons donc le numérateur et le dénominateur par 6 :
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Trouvez le plus petit commun multiple de deux nombres. Le plus petit commun multiple (LCM) de deux nombres est le plus petit nombre qui est également divisible par les deux nombres. Par exemple, le LCM de 2 et 3 est 6 car c'est le plus petit nombre qui peut être divisible par 2 et 3. Voici un exemple de recherche du LCM en utilisant la factorisation en nombre premier :
   • Commençons par deux factorisations premières. Par exemple, pour 126, la factorisation peut être écrite comme 2 x 3 x 3 x 7. Le nombre 84 peut être décomposé en facteurs premiers comme 2 x 2 x 3 x 7.
   • Comparons combien de fois chaque facteur apparaît dans les expansions. Sélectionnez la liste où le multiplicateur se produit le nombre maximum de fois et encerclez cet endroit. Par exemple, le chiffre 2 apparaît une fois dans l'extension pour 126 et deux fois dans la liste pour 84, vous devez donc encercler 2x2 dans la deuxième liste de facteurs.
   • Répétez cette étape pour chaque multiplicateur. Par exemple, 3 est plus courant dans la première extension, vous devez donc l'entourer 3x3... Le chiffre 7 apparaît une fois dans les deux listes, donc on encercle 7 (peu importe dans quelle liste, si le facteur donné apparaît dans les deux listes le même nombre de fois).
   • Pour trouver le LCM, multipliez tous les nombres encerclés. Dans notre exemple, le plus petit commun multiple de 126 et 84 est 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... C'est le plus petit nombre qui est divisible par 126 et 84 sans reste.
4. 4 Utilisez LCM pour ajouter des fractions. Lors de l'addition de deux fractions, il est nécessaire de les amener à un dénominateur commun. Pour ce faire, trouvez le LCM des deux dénominateurs. Multipliez ensuite le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un nombre tel que les dénominateurs des fractions soient égaux au LCM. Après cela, vous pouvez ajouter les fractions.
   • Par exemple, vous devez trouver le montant /₆ + /₂₁.
   • En utilisant la méthode ci-dessus, vous pouvez trouver le LCM pour 6 et 21. C'est 42.
   • On transforme la fraction /₆ de sorte que son dénominateur soit 42. Pour ce faire, vous devez diviser 42 par 6 : 42 6 = 7. Maintenant, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 7 : /₆ X /₇ = /₄₂.
   • Pour amener la deuxième fraction au dénominateur 42, divisez 42 par 21 : 42 ÷ 21 = 2. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 : /₂₁ X /₂ = /₄₂.
   • Une fois les fractions réduites au même dénominateur, elles peuvent être facilement additionnées : /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Exemples de tâches

• Essayez de résoudre vous-même les problèmes ci-dessous.Si vous pensez avoir reçu la bonne réponse, surlignez avec la souris l'endroit après les deux points dans l'énoncé du problème. Ces dernières tâches sont les plus difficiles.
• Trouvez la factorisation première pour 16 : 2 x 2 x 2 x 2
• Écrivez votre réponse sous forme exponentielle : 2
• Trouvez la factorisation première de 45 : 3 x 3 x 5
• Écrivez votre réponse sous forme exponentielle : 3 x 5
• Trouvez la factorisation première pour 34 : 2 x 17
• Trouvez la factorisation première de 154 : 2 x 7 x 11
• Trouvez la factorisation première de 8 et 40, puis déterminez leur plus grand facteur commun : la factorisation première de 8 est 2 x 2 x 2 x 2 ; la factorisation première de 40 est 2 x 2 x 2 x 5 ; PGCD de deux nombres 2 x 2 x 2 = 6.
• Trouvez la factorisation première de 18 et 52 et trouvez leur plus petit commun multiple : La factorisation première de 18 est 2 x 3 x 3; la factorisation première de 52 est 2 x 2 x 13 ; Le LCM de deux nombres est 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Conseils

• Chaque nombre a une caractéristique de factorisation unique. Peu importe comment vous trouvez cette extension, vous devriez vous retrouver avec la même réponse. C'est ce qu'on appelle le théorème de base de l'arithmétique.
• Au lieu de réécrire les nombres premiers sur une nouvelle ligne de l'arbre des facteurs à chaque fois, vous pouvez les laisser en place et simplement les encercler. A la fin de l'expansion, il comprendra tous les facteurs premiers encerclés.
• Vérifiez toujours la réponse que vous recevez. Vous pouvez faire une erreur et ne pas la remarquer.
• Préparez-vous pour des missions difficiles. Si on vous demande de trouver une factorisation première d'un nombre premier, aucun calcul n'est nécessaire. Par exemple, pour le nombre 17, la factorisation première est 17 ; ce nombre ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers.
• Le plus grand facteur commun et le plus petit multiple commun peuvent être trouvés pour trois nombres ou plus.

Avertissements

• L'arbre multiplicateur vous permet de déterminer uniquement les facteurs premiers, pas tous les facteurs possibles.