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Le graphique d'une équation quadratique de la forme ax + bx + c ou a (x - h) + k est une parabole (courbe en U). Pour tracer une telle équation, vous devez trouver le sommet de la parabole, sa direction et les points d'intersection avec les axes X et Y. Si l'on vous donne une équation quadratique relativement simple, vous pouvez substituer différentes valeurs de "x ", trouvez les valeurs correspondantes de "y" et construisez un graphique ...

Pas

1. 1 L'équation quadratique peut être écrite sous une forme standard et sous une forme non standard. Vous pouvez utiliser n'importe quel type d'équation pour tracer une équation quadratique (la méthode de traçage est légèrement différente). En règle générale, dans les problèmes, les équations quadratiques sont données sous une forme standard, mais cet article vous parlera des deux types d'écriture d'une équation quadratique.
   • Forme standard : f (x) = ax + bx + c, où a, b, c sont des nombres réels et a 0.
     • Par exemple, deux équations de la forme standard : f (x) = x + 2x + 1 et f (x) = 9x + 10x -8.
   • Forme non standard : f (x) = a (x - h) + k, où a, h, k sont des nombres réels et a ≠ 0.
     • Par exemple, deux équations de forme non standard : f (x) = 9 (x - 4) + 18 et -3 (x - 5) + 1.
   • Pour tracer une équation quadratique de quelque nature que ce soit, vous devez d'abord trouver le sommet de la parabole, qui a des coordonnées (h, k). Les coordonnées du sommet de la parabole dans les équations de la forme standard sont calculées par les formules : h = -b/2a et k = f (h) ; les coordonnées du sommet de la parabole dans des équations de forme non standard peuvent être obtenues directement à partir des équations.
2. 2 Pour tracer le graphique, vous devez trouver les valeurs numériques des coefficients a, b, c (ou a, h, k). Dans la plupart des problèmes, les équations quadratiques sont données avec les valeurs numériques des coefficients.
   • Par exemple, dans l'équation standard f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
   • Par exemple, dans une équation non standard f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
3. 3 Calculez h dans l'équation standard (dans le non standard, il est déjà donné) en utilisant la formule: h = -b / 2a.
   • Dans notre exemple d'équation standard, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • Dans notre exemple d'équation non standard, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 Calculez k dans l'équation standard (dans le non standard, il est déjà donné). N'oubliez pas que k = f (h), c'est-à-dire que vous pouvez trouver k en substituant la valeur trouvée de h au lieu de "x" dans l'équation d'origine.
   • Vous avez trouvé que h = -4 (pour l'équation standard). Pour calculer k, remplacez cette valeur par "x":
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Dans une équation non standard, k = 12.
5. 5 Dessinez un sommet avec des coordonnées (h, k) sur le plan de coordonnées. h est tracé le long de l'axe X et k est tracé le long de l'axe Y. Le sommet d'une parabole est soit le point le plus bas (si la parabole pointe vers le haut), soit le point le plus haut (si la parabole pointe vers le bas).
   • Dans notre exemple d'équation standard, le sommet a des coordonnées (-4, 7). Dessinez ce point sur le plan de coordonnées.
   • Dans notre exemple d'équation personnalisée, le sommet a des coordonnées (5, 12). Dessinez ce point sur le plan de coordonnées.
6. 6 Dessinez l'axe de symétrie de la parabole (facultatif). L'axe de symétrie passe par le sommet de la parabole parallèlement à l'axe Y (c'est-à-dire strictement vertical). L'axe de symétrie divise la parabole en deux (c'est-à-dire que la parabole est symétrique par rapport à cet axe).
   • Dans notre exemple d'équation standard, l'axe de symétrie est une droite parallèle à l'axe Y et passant par le point (-4, 7). Bien que cette ligne ne fasse pas partie de la parabole elle-même, elle donne une idée de la symétrie de la parabole.
7. 7 Déterminez la direction de la parabole - vers le haut ou vers le bas. C'est très facile à faire.Si le coefficient "a" est positif, alors la parabole est dirigée vers le haut, et si le coefficient "a" est négatif, alors la parabole est dirigée vers le bas.
   • Dans notre exemple de l'équation standard, f (x) = 2x + 16x + 39, la parabole pointe vers le haut, puisque a = 2 (coefficient positif).
   • Dans notre exemple d'équation non standard f (x) = 4 (x - 5) + 12, la parabole est également dirigée vers le haut, puisque a = 4 (coefficient positif).
8. 8 Si nécessaire, localisez et tracez l'abscisse à l'origine. Ces points vous aideront beaucoup lors du dessin d'une parabole. Il peut y en avoir deux, un ou aucun (si la parabole est dirigée vers le haut et son sommet se trouve au-dessus de l'axe X, ou si la parabole est dirigée vers le bas et son sommet se trouve en dessous de l'axe X). Pour calculer les coordonnées des points d'intersection avec l'axe X, procédez comme suit :
   • Mettez l'équation à zéro : f (x) = 0 et résolvez-la. Cette méthode fonctionne avec des équations quadratiques simples (en particulier celles non standard), mais peut être extrêmement difficile pour des équations complexes. Dans notre exemple :
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. Les points d'intersection de la parabole avec l'axe X ont des coordonnées (11,0) et (13,0).
   • Factoriser l'équation quadratique de forme standard : ax + bx + c = (dx + e) ​​​​(fx + g), où dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Définissez ensuite chaque binôme sur 0 et recherchez les valeurs pour "x". Par exemple:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Dans ce cas, il y a un seul point d'intersection de la parabole avec l'axe des x de coordonnées (-1,0), car en x + 1 = 0 x = -1.
   • Si vous ne pouvez pas factoriser l'équation, résolvez-la en utilisant la formule quadratique : x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
     • Par exemple : -5x + 1x + 10.
     • x = (-1 +/- (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) et (-15,18 / -10). Les points d'intersection de la parabole avec l'axe X ont des coordonnées (-1,318,0) et (1,518,0).
     • Dans notre exemple, les équations de la forme standard 2x + 16x + 39 :
     • x = (-16 +/- (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- (-56) / - 10
     • Puisqu'il est impossible d'extraire la racine carrée d'un nombre négatif, dans ce cas la parabole ne coupe pas l'axe X.
9. 9 Localisez et tracez l'ordonnée à l'origine si nécessaire. C'est très simple - branchez x = 0 dans l'équation d'origine et trouvez la valeur de "y". L'ordonnée à l'origine est toujours la même. Remarque : dans les équations de la forme standard, le point d'intersection a des coordonnées (0, s).
   • Par exemple, la parabole de l'équation quadratique 2x + 16x + 39 coupe l'axe Y au point de coordonnées (0, 39), puisque c = 39. Mais cela peut être calculé :
     • f(x) = 2x + 16x + 39
     • f(x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, c'est-à-dire que la parabole de cette équation quadratique coupe l'axe Y au point de coordonnées (0, 39).
   • Dans notre exemple d'équation non standard 4 (x - 5) + 12, l'ordonnée à l'origine est calculée comme suit :
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f(x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f(x) = 4 (-5) + 12
     • f(x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, c'est-à-dire que la parabole de cette équation quadratique coupe l'axe Y au point de coordonnées (0, 112).
10. 10 Vous avez trouvé (et tracé) le sommet de la parabole, sa direction et les points d'intersection avec les axes X et Y. Vous pouvez construire des paraboles à partir de ces points ou trouver et tracer des points supplémentaires et ensuite seulement construire une parabole. Pour ce faire, branchez plusieurs valeurs x (de chaque côté du sommet) dans l'équation d'origine pour calculer les valeurs y correspondantes.
    • Revenons à l'équation x + 2x + 1. Vous savez déjà que le point d'intersection du graphique de cette équation avec l'axe des X est le point de coordonnées (-1,0). Si la parabole n'a qu'un seul point d'intersection avec l'axe X, alors c'est le sommet de la parabole se trouvant sur l'axe X. Dans ce cas, un point ne suffit pas pour construire une parabole régulière. Alors trouvez quelques points supplémentaires.
      • Disons x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.
      • x = 0 : f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Coordonnées du point : (0,1).
      • x = 1 : f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Coordonnées du point : (1,4).
      • x = -2 : f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Coordonnées du point : (-2,1).
      • x = -3 : f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Coordonnées du point : (-3,4).
      • Dessinez ces points sur le plan de coordonnées et tracez une parabole (connectez les points avec une courbe en U). Veuillez noter que la parabole est absolument symétrique - n'importe quel point sur une branche de la parabole peut être mis en miroir (par rapport à l'axe de symétrie) sur l'autre branche de la parabole. Cela vous fera gagner du temps, puisque vous n'avez pas besoin de calculer les coordonnées des points sur les deux branches de la parabole.

Conseils

• Arrondissez les nombres fractionnaires (si c'est une exigence de l'enseignant) - c'est ainsi que vous construisez une parabole correcte.
• Si dans f (x) = ax + bx + c les coefficients b ou c sont égaux à zéro, alors il n'y a pas de termes avec ces coefficients dans l'équation.Par exemple, 12x + 0x + 6 devient 12x + 6 car 0x est 0.