Contenu

• Avancer d'un pas
• Partie 1 sur 3: Les bases de l'analyse
• Partie 2 sur 3: Comprendre les dérivés
• Partie 3 sur 3: Comprendre les intégrales
• Conseils

L'analyse (également appelée calcul) est une branche des mathématiques axée sur les limites, les fonctions, les dérivées, les intégrales et les séries infinies. Ce sujet couvre beaucoup de mathématiques et sous-tend de nombreuses formules et équations utilisées en physique et en mécanique. Vous aurez probablement besoin d'avoir plusieurs années de mathématiques au lycée pour bien comprendre l'analyse, mais cet article vous permettra de commencer à apprendre à reconnaître les concepts clés ainsi qu'à une meilleure compréhension de la théorie.

Avancer d'un pas

Partie 1 sur 3: Les bases de l'analyse

1. L'analyse est l'étude de la façon dont les choses changent. L'analyse est une branche des mathématiques qui examine les nombres et les graphiques, généralement tirés de données du monde réel, et explique comment ils changent. Bien que cela puisse ne pas sembler très utile au début, l'analyse est l'une des branches les plus couramment utilisées des mathématiques. Imaginez avoir les outils pour vous dire à quelle vitesse votre entreprise se développe à un moment donné, ou comment tracer la trajectoire d'un vaisseau spatial, et à quelle vitesse son carburant est épuisé. L'analyse est un outil important en ingénierie, économie, statistique, chimie et physique, et a contribué à de nombreuses inventions et découvertes.
2. Les fonctions sont des relations entre deux nombres et sont utilisées pour mapper des relations. Ce sont des règles pour la relation entre les nombres et les mathématiciens les utilisent pour créer des graphiques. Dans une fonction, chaque entrée a exactement un résultat. Par exemple: dans ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Pensez au concept de l'infini. L'infini est la répétition constante d'un processus. Ce n'est pas un lieu spécifique (vous ne pouvez pas aller à l'infini), mais plutôt le comportement d'un nombre ou d'une équation, s'il est fait pour toujours. Ceci est important pour étudier le changement: vous voudrez peut-être savoir à quelle vitesse votre voiture se déplace à un moment donné, mais est-ce à quelle vitesse votre voiture se déplace pendant la seconde en cours? Milliseconde? Nanoseconde? Vous pouvez trouver des tranches de temps infiniment plus petites pour être encore plus précises, et c'est à ce moment que l'analyse entre en jeu.
3. Comprenez le concept de limites. Une limite vous indique ce qui se passe lorsque quelque chose s'approche de l'infini. Prenez le chiffre 1 et divisez-le par 2. Continuez à diviser par 2 encore et encore. 1 devient 1/2 puis 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Chaque fois que le nombre devient de plus en plus petit, "plus proche" de zéro. Mais où s'arrête-t-il? Combien de fois devez-vous diviser 1 par 2 pour obtenir zéro? Au lieu de répondre à cette question, dans l'analyse, vous en définissez un limite Dans ce cas, la limite est.
   • Les limites sont les plus faciles à visualiser dans un graphique - par exemple, y a-t-il des points qu'un graphique touche presque, mais jamais tout à fait?
   • Les limites peuvent être numériques, infinies ou même inexistantes. Par exemple, avec la séquence d'addition 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... et cela continue indéfiniment, le nombre final devient infiniment grand. La limite devient alors infinie.
4. Passez en revue les concepts mathématiques essentiels de l'algèbre, de la trigonométrie et des bases des mathématiques. L'analyse repose sur une grande partie des mathématiques que vous avez apprises auparavant. Être bien informé sur tous les sujets facilite grandement l'apprentissage et la compréhension de l'analyse. Certains sujets à rafraîchir sont:
   • Algèbre. Vous devez comprendre les différents processus et être capable de résoudre des équations et des systèmes d'équations à plusieurs variables. Comprenez les bases des collections. Entraînez-vous à créer des graphiques.
   • Géométrie. La géométrie est l'étude des formes. Vous devez avoir des connaissances de base sur les triangles, les rectangles et les cercles et sur la façon de calculer des éléments tels que le périmètre et la surface. Comprendre les angles, les lignes et les coordonnées
   • Trigonométrie. La trigonométrie est la branche des mathématiques qui traite des propriétés des cercles et des triangles rectangles. Savoir utiliser les identités trigonométriques, les graphiques, les fonctions et les fonctions trigonométriques inverses.
5. Achetez une calculatrice graphique. L'analyse n'est pas facile à comprendre sans voir ce que vous faites. Les calculatrices graphiques rendent les fonctions visuelles afin que vous puissiez mieux comprendre quelles équations vous traitez. Souvent, les limites sont également affichées à l'écran, et les dérivées et les fonctions sont calculées automatiquement.
   • De nombreux smartphones et tablettes offrent aujourd'hui des applications graphiques peu coûteuses mais efficaces si vous ne voulez pas ou ne pouvez pas acheter une calculatrice graphique.

Partie 2 sur 3: Comprendre les dérivés

1. L'analyse est utilisée pour étudier «le changement à un moment précis». Savoir pourquoi quelque chose change à un moment précis est au cœur de l'analyse. Par exemple, l'analyse vous donne non seulement la vitesse d'une voiture, mais aussi combien cette vitesse change à un moment donné. C'est l'une des utilisations les plus simples de l'analyse, mais très importante. Imaginez à quel point ces informations sont importantes pour déterminer la vitesse à laquelle il faut pour amener un vaisseau spatial sur la Lune!
   • La détermination du changement à un moment donné dans le temps a différencier. La différenciation est la première des deux grandes branches d'analyse.
2. Utilisez des dérivés pour comprendre comment les choses changent à un moment donné. Un «dérivé» est un mot gentil pour quelque chose qui rend souvent les étudiants nerveux. Cependant, le concept lui-même n'est pas si difficile à comprendre - il signifie simplement «à quelle vitesse quelque chose change». Les dérivés que vous rencontrerez le plus dans la vie de tous les jours sont liés à la vitesse. Cependant, vous ne l'appelez généralement pas «la dérivée de la vitesse», mais simplement «l'accélération».
   • L'accélération est un dérivé - elle vous indique à quelle vitesse quelque chose accélère ou ralentit, ou comment sa vitesse change.
3. Sachez que le taux de changement est égal à la pente entre deux points. C'est l'une des découvertes les plus importantes de l'analyse. Le taux de changement entre deux points est égal à la pente de la ligne entre ces deux points. Pensez simplement à une ligne simple, comme celle de l'équation ${ displaystyle y = 3x.}$Sachez que vous pouvez déterminer la pente des lignes courbes. Déterminer la pente d'une ligne droite est relativement facile: combien de changements ${ displaystyle y}$Si vous souhaitez calculer le changement plus précisément, assurez-vous que les points sont plus proches les uns des autres. Plus vous choisissez les deux points près, plus votre réponse est précise. Supposons que vous souhaitiez savoir à quel point votre voiture accélère lorsque vous appuyez sur l'accélérateur. Vous ne voulez pas mesurer le changement de vitesse entre votre maison et le supermarché, mais le changement de vitesse à partir du moment où vous appuyez sur l'accélérateur. Plus votre lecture se rapproche de cette fraction de seconde, plus votre calcul du changement est précis.
   • Par exemple, les scientifiques étudient la rapidité avec laquelle certaines espèces disparaissent pour les sauver. Cependant, plus d'animaux meurent en hiver qu'en été, il n'est donc pas utile d'étudier le taux de changement tout au long de l'année - il est préférable de déterminer le taux de changement sur une période plus courte, comme du 1er juillet au 1er août.
4. Utilisez des lignes infiniment courtes pour déterminer le «taux de changement instantané» ou trouvez la dérivée. C'est là que l'analyse devient souvent un peu déroutante, mais c'est en fait le résultat de deux faits simples. Tout d'abord, vous savez que la pente d'une ligne est égale à la vitesse à laquelle cette ligne change. Deuxièmement, vous savez que plus les points de la ligne sont proches les uns des autres, plus la lecture deviendra précise. Mais comment trouver le taux de changement en un point donné si la pente est la relation entre deux points? La réponse: Vous choisissez deux points infiniment proches l'un de l'autre.
   • Prenons l'exemple où vous continuez à diviser 1 par 2, obtenant ainsi 1/2, 1/4, 1/8, etc. Donc, à la fin, vous vous approchez de zéro, et la réponse est "presque zéro". Les points sont si proches les uns des autres qu'ils sont "presque égaux les uns aux autres". Telle est la nature des dérivés.
5. Apprenez à déterminer divers dérivés. Il existe une tonne de techniques différentes pour trouver un dérivé en fonction de l'équation, mais la plupart d'entre elles ont du sens si vous avez mémorisé les bases des dérivés ci-dessus. Toutes les dérivées sont un moyen de trouver la pente d'une ligne "infinitésimale". Maintenant que vous en savez plus sur la théorie dérivée, une grande partie du travail consiste à trouver les réponses.
6. Trouvez les équations dérivées pour prédire le taux de changement à tout moment. Il est utile d'utiliser des dérivés pour déterminer le taux de changement à un moment donné, mais la beauté de l'analyse est que vous pouvez créer un nouveau modèle pour n'importe quelle fonction. Le dérivé de ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Si vous trouvez cela difficile à comprendre, essayez de vous souvenir d'exemples réels de dérivés. L'exemple le plus simple est basé sur la vitesse, qui englobe de nombreux dérivés différents que nous rencontrons chaque jour. Ne pas oublier: un dérivé est une mesure de la rapidité avec laquelle quelque chose change. Pensez à une expérience simple. Vous faites rouler une bille sur une table et mesurez sa distance et sa vitesse à chaque fois. Imaginez maintenant que le marbre roulant suit une ligne sur un graphique - vous utilisez des dérivés pour mesurer les changements instantanés à tout moment sur cette ligne.
   • À quelle vitesse le marbre se déplace-t-il? À quelle vitesse la position (ou la dérivée) de la bille en mouvement change-t-elle? Nous appelons cette dérivée «vitesse».
   • Faites rouler la bille le long d'une pente et observez comment la vitesse change. Quel est le taux de changement, ou dérivé, de la vitesse du marbre? Cette dérivée est ce que nous appelons «accélération».
   • Faites rouler le marbre le long d'une piste ondulée, comme des montagnes russes. Dans quelle mesure le marbre gagne-t-il en vitesse lorsqu'il roule et dans quelle mesure le marbre ralentit-il en montée? À quelle vitesse le marbre va-t-il exactement quand il est à mi-hauteur de la première colline? C'est le taux instantané de changement, ou le dérivé, de ce marbre à ce point précis.

Partie 3 sur 3: Comprendre les intégrales

1. Sachez que vous pouvez utiliser l'analyse pour trouver des zones et des volumes complexes. Grâce à l'analyse, vous pouvez mesurer des formes complexes qui sont autrement difficiles à mesurer. Considérez, par exemple, le problème que vous voulez savoir combien d'eau contient un long lac de forme irrégulière - il est impossible de mesurer chaque litre d'eau séparément ou d'utiliser une règle pour mesurer la forme du lac. Grâce à l'analyse, vous pouvez étudier comment les bords du lac changent, puis utiliser ces informations pour déterminer la quantité d'eau qu'il contient.
   • Réalisation de modèles géométriques et étude des volumes intégrer. Le calcul intégré est la deuxième branche d'analyse importante.
2. Sachez que l'intégration est la zone sous un graphique. L'intégration est utilisée pour mesurer l'espace sous une ligne, ce qui vous permet de déterminer la zone de formes étranges ou irrégulières. Prends l'équation ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Sachez que vous devez sélectionner une zone à intégrer. Vous ne pouvez pas simplement intégrer une fonction entière. Par exemple, ${ displaystyle y = x}$Réfléchissez à la façon de calculer l'aire d'un rectangle. Supposons que vous ayez une ligne plate au-dessus d'un graphique, telle que ${ displaystyle y = 4.}$Sachez qu'en calcul intégral, de nombreux petits rectangles sont additionnés pour trouver l'aire d'une zone. Lorsque vous agrandissez énormément une courbe, elle semble être une ligne droite. Vous voyez cela tous les jours - vous ne pouvez pas percevoir la courbure de la terre parce que vous êtes si près de la surface de la terre. L'intégration crée un nombre infini de petits rectangles sous une courbe qui sont si petits qu'ils sont fondamentalement plats, vous permettant de les compter. Tous ces rectangles ajoutés ensemble forment l'aire de l'aire sous une courbe.
   • Supposons que vous ajoutiez beaucoup de petits segments sous le graphique, et c'est la largeur de chaque segment presque est zéro.
3. Savoir lire et écrire correctement les intégrales. Les intégrales se composent de 4 parties. Une intégrale typique ressemble à ceci:
   
   ${ Displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ En savoir plus sur la recherche d'intégrales. L'intégration se présente sous de nombreuses formes et vous devez apprendre de nombreuses formules différentes pour intégrer chaque fonction. Cependant, ils suivent tous les principes exposés ci-dessus: l'intégration est la somme d'un nombre infini de choses.
   • Intégrer par substitution.
   • Calculez des intégrales indéfinies.
   • Intégrez en partageant.
4. Sachez que l'intégration est l'inverse de la différenciation et vice versa. Il s'agit d'une règle empirique d'analyse si importante qu'on lui a donné son propre nom: le théorème principal du calcul intégral.Étant donné que l'intégration et la différenciation sont si étroitement liées, une combinaison des deux peut être utilisée pour déterminer le taux de changement, l'accélération, la vitesse, l'emplacement, le mouvement, etc., quelles que soient les informations dont vous disposez.
   • Par exemple, rappelez-vous que la dérivée de la vitesse est l'accélération, vous pouvez donc utiliser la vitesse pour trouver l'accélération. Mais si vous ne connaissez que l'accélération de quelque chose (comme des objets tombant à cause de la gravité), alors vous pouvez vous intégrer pour reprendre de la vitesse!
5. Sachez qu'avec l'intégration, vous pouvez également contrôler le volume des objets 3D. La rotation d'une forme plate est une façon de créer des solides 3D. Imaginez une pièce de monnaie qui tourne sur la table - remarquez comment la pièce semble prendre la forme d'une sphère lorsqu'elle tourne. Ce concept permet de déterminer le volume selon un processus appelé «volume par rotation».
   • Cela vous permet de déterminer le volume de n'importe quel solide, à condition que vous ayez une fonction qui le représente. Par exemple, vous pouvez créer une fonction qui suit le fond d'un lac, puis l'utiliser pour déterminer le volume du lac ou la quantité d'eau qu'il contient.

Conseils

• La pratique rend parfait, alors faites les exercices pratiques de votre manuel - même ceux que votre enseignant n'a pas donnés - et vérifiez vos réponses pour vous aider à mieux comprendre les concepts.
• Si vous ne trouvez pas de solution, demandez à votre enseignant.