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• Avancer d'un pas
• Conseils

Sous forme de graphique, voyez une équation quadratique hache + bx + c , également qui s'écrit a (x - h) + k, ressemble à une courbe lisse en forme de U. Nous appelons celui-ci parabole. La représentation graphique d'une équation quadratique consiste à trouver le sommet, la direction et souvent les points d'intersection avec l'axe des x et l'axe des y. Dans le cas de l'équation quadratique relativement simple, il peut également être suffisant d'entrer un certain nombre de valeurs pour x pour indiquer ces points dans le système de coordonnées, après quoi la parabole peut être dessinée. Passez à l'étape 1 pour commencer.

Avancer d'un pas

1. Déterminez quel type d'équation du deuxième degré vous avez. Il peut être écrit de deux manières: la notation standard et la notation des sommets (une autre façon d'écrire la formule de la racine carrée). Vous pouvez utiliser les deux pour créer un graphique d'une équation quadratique, mais le processus est légèrement différent dans chaque cas. La plupart du temps, vous rencontrerez la forme standard, mais il ne fait certainement pas de mal d'apprendre à utiliser les deux formes. Les deux formes d'une équation quadratique sont:
   • La forme standard. L'équation quadratique est notée comme suit: f (x) = ax + bx + c où a, b et c sont des nombres réels et a n'est pas égal à zéro.
     • Deux exemples d'équations quadratiques standard: f (x) = x + 2x + 1 et f (x) = 9x + 10x -8.
   • La forme du sommet. L'équation quadratique est notée comme suit: f (x) = a (x - h) + k où a, h et k sont des nombres réels et a n'est pas égal à zéro. Cette forme est appelée sommet car h et k se réfèrent directement au sommet de votre parabole au point (h, k).
     • Deux exemples d'équations de forme de sommet sont f (x) = 9 (x - 4) + 18 et -3 (x - 5) + 1
   • Pour faire un graphique de ces équations, nous déterminons d'abord le haut (h, k) du graphique. Dans l'équation standard, vous trouverez cela via: h = -b / 2a et k = f (h), alors que cela est déjà donné sous forme de sommet car h et k apparaissent dans l'équation.
2. Déterminez vos variables. Pour résoudre une équation quadratique, il est généralement nécessaire de déterminer les variables a, b et c (ou a, h et k). Un exercice régulier vous donnera une équation du deuxième degré sous la forme standard, mais la notation des sommets peut également se produire.
   • Par exemple: la fonction standard f (x) = 2x + 16x + 39. Ici, nous avons a = 2, b = 16 et c = 39.
   • En notation des sommets: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Ici, nous avons a = 4, h = 5 et k = 12.
3. Calculez h. Dans la notation des sommets, la valeur de h est déjà donnée, mais dans la notation standard, cette valeur n'a pas encore été calculée. Rappelez-vous qu'avec l'équation standard, c'est: h = -b / 2a.
   • Exemple 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). En résolvant cela, nous voyons que h = -4.
   • Exemple 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), on voit immédiatement que h = 5.
4. Calculez k. Comme avec h, k est déjà connu à partir des équations de forme de sommet. Pour les équations en notation standard, rappelez-vous que k = f (h). En d'autres termes, vous pouvez trouver k en remplaçant toute variable x par la valeur de h.
   • Nous avons vu par exemple 1 que h = -4. Pour trouver k, nous résolvons cette équation en remplissant cette valeur de h dans l'équation, pour la variable x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • De l'exemple 2, nous savons que la valeur de k est égale à 12, sans aucun calcul.
5. Dessinez le haut ou le bas du graphique. Le sommet ou la vallée de votre parabole est le point (h, k) - h représente la coordonnée x et k représente la coordonnée y. Le sommet est le centre de votre parabole - le point le plus haut ou le plus bas, le sommet ou la vallée, d'un graphe sous la forme d'un "U" ou vice versa.Être capable de déterminer le sommet d'une parabole est une partie essentielle du dessin d'un graphique correct - la détermination du sommet d'une parabole fait souvent partie d'un problème de mathématiques à l'école.
   • Dans l'exemple 1, le haut du graphique est (-4,7). Dessinez le point sur votre graphique et assurez-vous de nommer correctement les coordonnées.
   • Dans l'exemple 2, le haut est (5.12). Donc, à partir du point (0,0), vous allez 5 endroits vers la droite, puis vers le haut de 12.
6. Si nécessaire, dessinez l'axe de symétrie de la parabole. L'axe de symétrie d'une parabole est la ligne qui coupe la figure au milieu, en la divisant exactement en deux. Un côté du graphique est reflété le long de cette ligne de l'autre côté du graphique. Dans les équations quadratiques de ax + bx + c ou a (x - h) + k, cet axe est la ligne parallèle à l'axe y passant par le sommet de la parabole.
   • Dans le cas de l'exemple 1, l'axe de symétrie est la droite parallèle à l'axe y et passe par le point (-4,7). Bien qu'elle ne fasse pas partie de la parabole elle-même, mettre légèrement en évidence cette ligne directrice peut vous montrer à quel point la courbe de parabole est symétrique.
7. Déterminez la direction de la parabole. Après avoir découvert ce qu'est le sommet de la parabole, il est nécessaire de savoir s'il s'agit d'une parabole de montagne ou de vallée, c'est-à-dire si l'ouverture est en bas ou en haut. Heureusement, c'est très simple. Si "a" est positif, vous avez affaire à une parabole de vallée; si "a" est négatif c'est une parabole de montagne (avec l'ouverture en bas)
   • Dans l'exemple 1, nous avons affaire à la fonction (f (x) = 2x + 16x + 39), il s'agit donc d'une parabole de vallée, car a = 2 (positive).
   • Dans l'exemple 2, nous avons affaire à la fonction f (x) = 4 (x - 5) + 12), et c'est aussi une parabole de vallée car a = 4 (positive).
8. Déterminez les points d'intersection de la parabole si nécessaire. Souvent, lorsqu'un problème mathématique est demandé de donner les intersections de la parabole avec l'axe des abscisses (ce sont "zéro", une ou alors deux points où la parabole croise ou touche l'axe x). Même s'ils ne sont pas demandés, ces points sont très importants pour pouvoir dessiner un graphique précis. Mais toutes les paraboles n'ont pas d'intersection avec l'axe des x. Si vous avez affaire à une parabole de vallée et que le point de vallée est au-dessus de l'axe des x ou, dans le cas d'une parabole de montagne, juste en dessous de l'axe des x, alors il n'y a tout simplement aucun point d'intersection à trouver. Si tel est le cas, utilisez l'une des méthodes suivantes:
   • Déterminez que f (x) = 0 et résolvez l'équation. Cette méthode peut fonctionner pour des équations quadratiques simples, en particulier sous la forme de sommets, mais vous constaterez que cela devient de plus en plus difficile à mesure que les fonctions deviennent plus complexes. Voici quelques exemples.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 et 13 sont les points d'intersection avec l'axe des x de la parabole.
   • Factorisez l'équation. Certaines équations sous la forme ax + bx + c peuvent être facilement réécrites comme (dx + e) ​​(fx + g), où dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx et e × g = c. Dans ce cas, les intersections x sont les valeurs de x où chaque terme entre parenthèses devient égal à 0. Par exemple:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Dans ce cas, le point d'intersection est -1 car, entré dans les deux facteurs, cela donne zéro.
   • Utilisez la formule abc. S'il n'est pas facile de déterminer les intersections ou de factoriser l'équation, utilisez la «formule abc» spécifiquement à cet effet. Supposons une équation de la forme ax + bx + c. Entrez ensuite les valeurs de a, b et c, dans la formule x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Notez que cela vous donne souvent deux réponses pour x, ce qui est bien - cela signifie simplement que votre parabole a deux intersections avec l'axe x. Voici un exemple:
     • Entrez -5x + 1x + 10 dans l'équation de la manière suivante:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) et (-15,18 / -10). Les points d'intersection de la parabole avec l'axe x sont approximativement x = -1,318 et 1,518
     • Comme dans l'exemple 1 avec l'équation 2x + 16x + 39, cela ressemblera à ceci:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Puisqu'il n'est pas possible de trouver la racine carrée d'un nombre négatif, nous savons qu'il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe des x pour cette parabole particulière.
9. Si nécessaire, déterminez l'intersection de la parabole avec l'axe y. Il n'est souvent pas nécessaire, mais parfois nécessaire, de trouver cette intersection, par exemple pour un problème de mathématiques. C'est assez simple: définissez la valeur de x sur 0 et résolvez l'équation pour f (x) ou y, ce qui vous donne la valeur y du point d'intersection de la parabole avec l'axe y. La différence avec les points d'intersection sur l'axe x est que sur l'axe y, il n'y a toujours qu'un seul point d'intersection. Remarque - avec les équations standard, l'intersection avec l'axe y est en y = c.
   • Par exemple, nous savons que notre équation quadratique 2x + 16x + 39 a une intersection y = 39, mais nous pouvons également trouver cela comme suit:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. L'intersection de la parabole avec l'axe y: y = 39. Comme indiqué ci-dessus, on peut facilement lire le point d'intersection car y = c.
   • L'équation 4 (x - 5) + 12 a une intersection avec l'axe y qui peut être trouvée comme suit:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. L'intersection avec l'axe y: y = 112.
10. Si vous pensez que cela est nécessaire, commencez par dessiner des points supplémentaires, puis le graphique entier. Vous devriez maintenant avoir un sommet ou une vallée, une direction, des points d'intersection avec l'axe x et éventuellement avec l'axe y de votre équation. À partir de là, vous pouvez essayer de dessiner la parabole en utilisant ces points ou vous pouvez essayer de trouver plus de points pour rendre le graphique plus précis. Le moyen le plus simple de le faire est simplement de saisir un certain nombre de valeurs x, ce qui renverra un certain nombre de valeurs y. Il vous sera souvent demandé (par l'enseignant) de calculer un certain nombre de points avant de pouvoir commencer à dessiner la parabole.
    • Regardons à nouveau l'équation x + 2x + 1. Nous savons déjà que la seule intersection avec l'axe x est (-1,0). Puisqu'il ne touche que l'axe x à ce point, nous pouvons en déduire que le haut du graphe est égal à ce point. Jusqu'à présent, nous n'avons qu'un seul point de cette parabole - pas assez pour dessiner un graphique. Trouvons quelques points supplémentaires pour nous assurer que nous avons plus de valeurs.
      • Essayons de trouver les valeurs y qui correspondent aux valeurs x suivantes: 0, 1, -2 et -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Puis le point (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Puis le point (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Puis le point (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Puis le point (-3,4).
      • Placez ces points dans le graphique et dessinez votre parabole. Notez que la parabole est complètement symétrique - si vous connaissez les points d'un côté du graphique, vous pouvez généralement vous épargner beaucoup de travail en utilisant ces points pour trouver les points de l'autre côté de l'axe de symétrie.

Conseils

• Si nécessaire, arrondissez les nombres ou utilisez des fractions. Cela peut aider à afficher correctement un graphique.
• Notez que si, pour la fonction f (x) = ax + bx + c, b ou c sont égaux à zéro, ces termes disparaîtront. Par exemple, 12x + 0x + 6 devient égal à 12x + 6 car 0x est égal à 0.