Contenu

• Avancer d'un pas
• Méthode 1 sur 3: Utilisation de la méthode de substitution
• Méthode 2 sur 3: Utilisation de la méthode d'élimination
• Méthode 3 sur 3: représenter graphiquement les équations
• Conseils
• Mises en garde

Dans un "système d'équations", on vous demande de résoudre deux équations ou plus en même temps. Lorsque ces deux contiennent des variables différentes, telles que x et y, ou a et b, il peut être difficile à première vue de voir comment les résoudre. Heureusement, une fois que vous savez quoi faire, vous n'avez besoin que de quelques compétences de base en mathématiques (et parfois d'une fraction de connaissances) pour résoudre le problème. Si nécessaire, ou si vous êtes un étudiant visuel, apprenez également à représenter graphiquement les équations. Représenter graphiquement (tracer) un graphique peut être utile pour «voir ce qui se passe» ou pour vérifier votre travail, mais cela peut aussi être plus lent que les autres méthodes et cela ne fonctionne pas avec tous les systèmes d'équations.

Avancer d'un pas

Méthode 1 sur 3: Utilisation de la méthode de substitution

1. Déplacez les variables vers différents côtés de l'équation. Cette méthode de "substitution" commence par "résoudre pour x" (ou toute autre variable) dans l'une des équations. Par exemple, nous avons les équations suivantes: 4x + 2y = 8 et 5x + 3x = 9. Tout d'abord, nous regardons la première comparaison. Réorganisez en soustrayant 2y de chaque côté, et vous obtenez: 4x = 8-2 ans.
   • Cette méthode utilise souvent des fractions à un stade ultérieur. Vous pouvez également utiliser la méthode d'élimination ci-dessous si vous préférez ne pas travailler avec des fractions.
2. Divisez les deux côtés de l'équation pour résoudre "x". Une fois que vous avez le terme x (ou la variable que vous utilisez) sur un côté de l'équation, divisez les deux côtés de l'équation pour isoler la variable. Par exemple:
   • 4x = 8-2 ans
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2 ans / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Rebranchez-le dans l'autre équation. Assurez-vous de revenir à la Autres comparaison, pas celle que vous avez déjà utilisée. Dans cette équation, vous remplacez la variable que vous avez résolue, ne laissant qu'une seule variable. Par exemple:
   • Vous savez maintenant que: x = 2 - ½y.
   • La deuxième équation, que vous n'avez pas encore modifiée, est: 5x + 3x = 9.
   • Dans la deuxième équation, remplacez x par "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Résolvez la variable restante. Vous avez maintenant une équation avec une seule variable. Utilisez des techniques d'algèbre courantes pour résoudre cette variable. Si les variables s'annulent, passez à la dernière étape. Sinon, vous vous retrouvez avec une réponse à l'une de vos variables:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Si vous ne comprenez pas cette étape, apprenez à ajouter des fractions. Ceci est souvent, mais pas toujours, nécessaire avec cette méthode).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Utilisez la réponse pour résoudre l'autre variable. Ne faites pas l'erreur de terminer le problème à mi-chemin. Vous devrez ressaisir la réponse que vous avez obtenue dans l'une des équations d'origine afin de pouvoir résoudre l'autre variable:
   • Vous savez maintenant que: y = -2
   • L'une des équations d'origine est: 4x + 2y = 8. (Les deux équations peuvent être utilisées pour cette étape).
   • Branchez -2 au lieu de y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Sachez quoi faire si les deux variables s'annulent. Lorsque vous x = 3y + 2 ou obtenir une réponse similaire dans l'autre équation, vous essayez d'obtenir une équation avec une seule variable. Parfois, vous vous retrouvez avec une équation à la place sans pour autant variables. Vérifiez votre travail et assurez-vous de remplacer la première équation (réarrangée) dans la deuxième équation, et non dans la première équation. Si vous êtes sûr de n'avoir commis aucune erreur, vous obtiendrez l'un des résultats suivants:
   • Si vous vous retrouvez avec une équation sans variable et qui n'est pas vraie (par exemple 3 = 5), alors vous avez le problème pas de solution. (Si vous avez tracé les équations, vous verrez qu'elles sont parallèles et ne se croisent jamais).
   • Si vous vous retrouvez avec une équation sans variables, mais celles bien est vrai (par exemple, 3 = 3), alors il y a le problème un nombre infini de solutions. Les deux équations sont exactement égales. (Si vous tracez les deux équations, vous verrez qu'elles se chevauchent exactement).

Méthode 2 sur 3: Utilisation de la méthode d'élimination

1. Détermine la variable à éliminer. Parfois, les équations "s'éliminent" les unes les autres dans une variable dès que vous les additionnez. Par exemple, lorsque vous faites les équations 3x + 2y = 11 et 5x - 2y = 13 combine, les "+ 2y" et "-2y" s'annuleront, avec tous les "y"s sont éliminés de l'équation. Regardez les équations de votre problème pour savoir si l'une des variables sera éliminée de cette manière. Si aucune des variables n'est éliminée, passez à l'étape suivante pour obtenir des conseils.
2. Multipliez une équation pour annuler une variable. (Sautez cette étape si les variables se sont déjà éliminées). Si aucune des variables des équations ne s'annule d'elle-même, vous devez changer l'une des équations pour que ce soit le cas. C'est plus simple à comprendre avec un exemple:
   • Supposons que vous ayez le système d'équations 3x - y = 3 et -x + 2y = 4.
   • Modifions la première équation pour que la variable soit y est éliminé. (Vous pouvez également le faire pour X faire et obtenir la même réponse).
   • le - y " de la première équation doit être éliminée avec le + 2 ans Dans la deuxième équation. Nous pouvons le faire en - y multipliez par 2.
   • Nous multiplions les deux côtés de la première équation par 2, comme suit: 2 (3x - y) = 2 (3), Et ainsi 6x - 2y = 6. Maintenant va - 2 ans tomber contre le + 2 ans dans la deuxième équation.
3. Combinez les deux équations. Pour pouvoir combiner deux équations, ajoutez les côtés gauche et droit ensemble. Si vous avez écrit l'équation correctement, l'une des variables devrait s'annuler par rapport à l'autre. Voici un exemple utilisant les mêmes équations que la dernière étape:
   • Vos équations sont: 6x - 2y = 6 et -x + 2y = 4.
   • Combinez les côtés gauche: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Combinez les côtés droits: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Résolvez la dernière variable. Simplifiez l'équation combinée, puis utilisez l'algèbre de base pour résoudre la dernière variable. S'il ne reste plus de variables après la simplification, passez à la dernière étape de cette section. Sinon, vous devriez terminer par une réponse simple à l'une de vos variables. Par exemple:
   • Vous avez: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Regrouper les variables X et y avec l'un l'autre: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Simplifier: 5x = 10
   • Résoudre pour x: (5x) / 5 = 10/5, de sorte que x = 2.
5. Résolvez les autres variables. Vous avez trouvé une variable, mais vous n’avez pas encore terminé. Remplacez votre réponse dans l'une des équations d'origine afin de pouvoir résoudre l'autre variable. Par exemple:
   • Tu le sais x = 2, et que l'une de vos équations d'origine 3x - y = 3 est.
   • Branchez 2, au lieu de x: 3 (2) - y = 3.
   • Résolvez y dans l'équation: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, donc 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Sachez quoi faire lorsque les deux variables s'annulent. Parfois, la combinaison de deux équations aboutit à une équation qui n'a pas de sens ou qui ne vous aide pas à résoudre le problème. Vérifiez votre travail depuis le début, mais si vous n'avez pas commis d'erreur, notez l'une des réponses suivantes:
   • Si votre équation combinée n'a pas de variables et n'est pas vraie (comme 2 = 7), alors il y a pas de solution ce qui est vrai pour les deux équations. (Si vous tracez les deux équations, vous verrez qu'elles sont parallèles et ne se croisent jamais).
   • Si votre équation combinée n'a pas de variables et est vraie (comme 0 = 0), alors il y a un nombre infini de solutions. Les deux équations sont en fait identiques. (Si vous les placez dans un graphique, vous verrez qu'ils se chevauchent complètement).

Méthode 3 sur 3: représenter graphiquement les équations

1. N'utilisez cette méthode que lorsqu'elle est spécifiée. À moins que vous n'utilisiez un ordinateur ou une calculatrice graphique, de nombreux systèmes d'équations ne peuvent être résolus approximativement qu'en utilisant cette méthode. Votre professeur ou manuel de mathématiques peut vous demander d'utiliser cette méthode, vous êtes donc probablement familier avec les équations graphiques telles que les lignes. Vous pouvez également utiliser cette méthode pour vérifier si vos réponses de l'une des autres méthodes sont correctes.
   • L'idée de base est de représenter graphiquement les deux équations et de déterminer le point où elles se croisent. Les valeurs x et y à ce stade donnent la valeur de x et la valeur de y dans le système d'équations.
2. Résolvez les deux équations pour y. Gardez les deux équations séparées et utilisez l'algèbre pour convertir chaque équation sous la forme "y = __x + __". Par exemple:
   • La première équation est: 2x + y = 5. Remplacez ceci par: y = -2x + 5.
   • La deuxième équation est: -3x + 6y = 0. Remplacez ceci par 6y = 3x + 0, et simplifier à y = ½x + 0.
   • Les deux équations sont-elles identiques, alors la ligne entière devient un "point d'intersection". Écrivez: solutions infinies.
3. Dessinez un système de coordonnées. Dessinez un «axe y» vertical et un «axe x» horizontal sur une feuille de papier millimétré. Commencez au point d'intersection des lignes et nommez les nombres 1, 2, 3, 4, etc. en haut de l'axe y et à nouveau à droite le long de l'axe x. Étiquetez les nombres -1, -2, etc. le long de l'axe y vers le bas et vers la gauche le long de l'axe x.
   • Si vous n'avez pas de papier millimétré, utilisez une règle pour vous assurer que les nombres sont régulièrement espacés.
   • Si vous utilisez de grands nombres ou des décimales, vous devrez peut-être mettre le graphique à l'échelle. (Par exemple 10, 20, 30 ou 0,1, 0,2, 0,3 au lieu de 1, 2, 3).
4. Tracez l'intersection y pour chaque ligne. Une fois que vous avez une équation sous la forme y = __x + __ vous pouvez commencer à le représenter graphiquement en définissant un point où la ligne intercepte l'axe y. C'est toujours à une valeur y, égale au dernier nombre de cette équation.
   • Dans les exemples mentionnés précédemment, une ligne (y = -2x + 5) dans l'axe des y 5. L'autre ligne (y = ½x + 0) passe par le point zéro 0. (Ce sont les points (0,5) et (0,0) dans le graphique).
   • Indiquez chacune des lignes avec une couleur différente, si possible.
5. Utilisez la pente pour continuer à dessiner les lignes. Sous la forme y = __x + __, est le nombre de x th pente hors de la ligne. Chaque fois que x est augmenté de un, la valeur y augmentera avec la valeur de la pente. Utilisez ces informations pour trouver le point sur le graphique pour chaque ligne lorsque x = 1. (Sinon, remplacez x = 1 pour chaque équation et résolvez pour y).
   • Dans notre exemple, la ligne a y = -2x + 5 une pente de -2. A x = 1 la ligne 2 descend vers le bas à partir du point x = 0. Tracez le segment de droite entre (0,5) et (1,3).
   • La règle y = ½x + 0a une pente de ½. À x = 1, la ligne va ½ en haut à partir du point x = 0. Tracez le segment de droite entre (0,0) et (1, ½).
   • Quand les lignes ont la même pente les droites ne se croisent jamais, il n'y a donc pas de solution pour le système d'équations. Écrivez: pas de solution.
6. Continuez à tracer les lignes jusqu'à ce qu'elles se croisent. Arrêtez-vous et regardez votre graphique. Si les lignes se sont déjà croisées, passez à l'étape suivante. Sinon, vous prenez une décision en fonction de ce que font les lignes:
   • Au fur et à mesure que les lignes se rapprochent, vous continuez à dessiner des points dans cette direction.
   • Si les lignes s'éloignent les unes des autres, revenez en arrière et tracez des points dans l'autre sens, en commençant par x = -1.
   • Si les lignes ne sont pas proches l'une de l'autre, sautez en avant et tracez des points plus éloignés, tels que x = 10.
7. Trouvez la réponse à l'intersection des lignes. Une fois que les deux lignes se croisent, les valeurs x et y à ce point sont la solution au problème. Si vous avez de la chance, la réponse sera un entier. Par exemple, dans nos exemples, les deux lignes se croisent (2,1) ainsi est ta réponse x = 2 et y = 1. Dans certains systèmes d'équation, les lignes se croisent à une valeur entre deux entiers, et à moins que votre graphique ne soit extrêmement précis, il sera difficile de dire où il se trouve. Si tel est le cas, vous pouvez donner une réponse comme: "x est compris entre 1 et 2". Vous pouvez également utiliser la méthode de substitution ou la méthode d'élimination pour trouver la réponse exacte.

Conseils

• Vous pouvez vérifier votre travail en entrant les réponses dans les équations d'origine. Si les équations sont vraies (par exemple, 3 = 3), alors votre réponse est correcte.
• Dans la méthode d'élimination, vous devez parfois multiplier une équation par un nombre négatif pour éliminer une variable.

Mises en garde

• Ces méthodes ne peuvent pas être utilisées si vous avez affaire à un nombre de puissance, tel que x. Pour en savoir plus sur les équations de ce type, vous aurez besoin d'un guide sur la quadrature des facteurs avec deux variables.