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Deux fractions sont dites équivalentes si elles ont la même valeur. Savoir comment convertir une fraction en ses formes équivalentes est une compétence mathématique essentielle pour tout, de l'algèbre de base aux mathématiques avancées. Cet article présentera plusieurs façons de calculer des fractions équivalentes de la multiplication et de la division de base à des méthodes plus complexes de résolution d'équations avec des fractions équivalentes.

Pas

Méthode 1 sur 5: créer des fractions équivalentes

1. 

   Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Par définition, deux fractions différentes mais équivalentes ont le numérateur et le dénominateur sont des multiples l'un de l'autre. En d'autres termes, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre donne une fraction équivalente. Bien que les nombres sur les nouvelles fractions soient différents, ils auront les mêmes valeurs.
   • Par exemple, si nous prenons la fraction 4/8 et multiplions le numérateur et le dénominateur par 2, nous obtenons (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Ces deux fractions sont équivalentes.
   • (4 × 2) / (8 × 2) est exactement le même que 4/8 × 2/2. Rappelez-vous que lorsque nous multiplions deux fractions, nous multiplions horizontalement, c'est-à-dire le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.
   • Notez que 2/2 est égal à 1 lorsque vous effectuez la division. Par conséquent, il est facile de voir pourquoi 4/8 et 8/16 sont égaux car 4/8 × (2/2) est toujours = 4/8. De même 4/8 = 8/16.
   • Toute fraction a un nombre infini de fractions équivalentes. Vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par n'importe quel entier, grand ou petit, pour obtenir une fraction équivalente.

2. 

   
   
   Divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Comme la multiplication, la division est également utilisée pour trouver une nouvelle fraction équivalente à la fraction d'origine. Divisez simplement le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Cependant, la fraction obtenue doit avoir à la fois le numérateur et l'échantillon être des entiers.
   • Par exemple, revenez sur la fraction 4/8. Au lieu de multiplier, nous divisons le numérateur et le dénominateur par 2, nous avons (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 et 4 sont tous deux des entiers, donc cette fraction équivalente est valide.
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Méthode 2 sur 5: Utilisation de la multiplication de base pour déterminer l'équivalence

1. 

   
   
   Trouvez le nombre dans lequel le plus grand dénominateur est multiplié par le plus petit dénominateur. De nombreux problèmes de fraction impliquent de déterminer si deux fractions sont égales ou non. En calculant ce nombre, vous pouvez renvoyer les fractions au même terme pour déterminer l'équivalence.
   • Par exemple, récupérez les fractions 4/8 et 8/16. Le plus petit dénominateur est 8, et nous devrons multiplier ce nombre par 2 pour obtenir le plus grand dénominateur de 16. Donc, le nombre à rechercher dans ce cas est 2.
   • Pour les nombres plus complexes, il vous suffit de diviser le grand dénominateur par le petit dénominateur. Dans l'exemple ci-dessus, 16 divisé par 8, le résultat est 2.
   • Ce nombre n'est pas toujours un entier. Par exemple, si les dénominateurs sont 2 et 7, alors 7 divisé par 2 est égal à 3,5.

2. 

   
   
   Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont exprimés dans le terme inférieur avec le nombre identifié à l'étape ci-dessus. Par définition, deux fractions différentes mais équivalentes existent Le numérateur et le dénominateur sont des multiples l'un de l'autre. En d'autres termes, multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre donne une fraction équivalente. Bien que les nombres de cette nouvelle fraction soient différents, leurs valeurs sont les mêmes.
   • Par exemple, si nous prenons la fraction 4/8 de la première étape et multiplions à la fois le numérateur et l'échantillon par le nombre 2 spécifié précédemment, nous avons (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Cela prouve que ces deux fractions sont équivalentes.
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Méthode 3 sur 5: Utilisation de la division de base pour déterminer l'équivalence

1. 

   Divisez chaque fraction en un nombre décimal. Pour les fractions simples sans variables, il vous suffit de représenter chaque fraction sous forme décimale pour déterminer l'équivalence. Puisque chaque fraction est essentiellement une division, c'est le moyen le plus simple de déterminer l'équivalence.
   • Par exemple, prenez la fraction 4/8 ci-dessus. La fraction 4/8 est égale à 4 divisé par 8, 4/8 = 0,5. Vous pouvez diviser cette fraction comme ça, 8/16 = 0,5. Quel que soit le format des fractions, elles sont équivalentes si les deux nombres sont égaux lorsqu'ils sont exprimés en décimal.
   • N'oubliez pas que la représentation décimale peut produire de nombreux chiffres avant de conclure qu'ils ne sont pas équivalents. Un exemple de base est 1/3 = 0,333… tandis que 3/10 = 0,3. À peine plus d'un chiffre, on constate que ces deux fractions ne sont pas équivalentes.

2. 

   Divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Pour les fractions plus complexes, cette méthode de division nécessite des étapes supplémentaires. Tout comme la multiplication, vous pouvez diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre pour obtenir une fraction équivalente. Cependant, la fraction obtenue doit avoir à la fois le numérateur et l'échantillon être des entiers.
   • Exemple de fraction 4/8. Au lieu de multiplier, nous sommes partager Le numérateur et le dénominateur donnent 2, nous obtenons (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 et 4 sont tous deux des nombres entiers, donc cette fraction équivalente est valide.

3. 

   
   
   Réduisez la fraction à sa forme minimale. La plupart des fractions sont généralement exprimées sous une forme minimale et vous pouvez les ramener à leur forme minimale en les divisant par le plus grand facteur commun du numérateur et de l'échantillon. Cette étape fonctionne dans la même logique de représentation des fractions équivalentes en les convertissant au même dénominateur, mais cette méthode nécessite de réduire chaque fraction à sa forme minimale.
   • Lorsqu'une fraction est dans sa forme minimale, le numérateur et son dénominateur sont aussi petits que possible. Vous ne pouvez pas les diviser par un entier pour obtenir un nombre plus petit. Pour convertir une fraction en sa forme minimale, nous divisons le numérateur et le dénominateur par le plus grand facteur commun.
   • Le plus grand facteur commun du numérateur et du dénominateur est le nombre maximum par lequel ils sont divisibles. Donc, dans l'exemple 4/8, parce que 4 est le plus grand nombre par lequel 4 et 8 sont divisibles, nous diviserons le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 4 pour obtenir une forme minimale. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Dans un autre exemple 8/16, GCF est 8, le résultat est également 1/2.
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Méthode 4 sur 5: Utilisation de la multiplication croisée pour résoudre le problème des variables

1. 

   
   
   Mettez deux fractions égales. Nous utilisons la multiplication croisée pour les problèmes où nous savons que les fractions sont équivalentes, mais l'un des nombres a été remplacé par la variable (généralement x) que nous devons résoudre le problème à trouver. Dans de tels cas, la multiplication croisée est une méthode rapide.

2. 

   
   
   Prenez deux fractions équivalentes et croisez-les en utilisant un «X». En d'autres termes, vous multipliez le numérateur d'une fraction par le dénominateur de l'autre et vice versa, puis mettez ces deux résultats égaux et résolvez le problème.
   • Prenons deux exemples, 4/8 et 8/16. Ces deux fractions ne contiennent aucune variable, mais nous pouvons prouver qu'elles sont équivalentes. Par multiplication croisée, nous obtenons 4 x 16 = 8 x 8, ou 64 = 64, ce qui est évidemment correct. Si les deux nombres ne sont pas identiques, les fractions ne sont pas équivalentes.

3. 

   Mettez les variables dans. Étant donné que la multiplication croisée est le moyen le plus simple de déterminer des fractions équivalentes lorsque vous devez résoudre le problème de la recherche de variables, ajoutez des variables.
   • Par exemple, considérons l'équation suivante 2 / x = 10/13. Pour croiser multiplier, nous multiplions 2 par 13 et 10 par x, puis mettons ces deux résultats égaux:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26. Par des méthodes algébriques simples, nous pouvons trouver la variable x = 26/10 = 2.6, alors les deux premières fractions équivalentes sont 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Utilisez la multiplication croisée pour les équations avec plusieurs variables ou expressions de variables. L'une des choses les plus intéressantes à propos de la multiplication croisée est que, que vous ayez deux fractions simples (comme ci-dessus) ou des fractions plus complexes, la solution est exactement la même. Par exemple, si les deux fractions contiennent des variables, supprimez-les simplement à la dernière étape du processus de résolution de problèmes. De même, si les numérateurs et dénominateurs de fractions contiennent des expressions variables (telles que x + 1), multipliez simplement et résolvez comme vous le feriez normalement.
   • Par exemple, considérons l'équation suivante ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Comme ci-dessus, nous résolvons par multiplication croisée de deux fractions:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12, soustrayez les côtés pour 2x
     • 2 = 2x + 12, pour séparer la variable on soustrait les côtés à 12
     • -10 = 2x, et divisez les côtés par 2 pour trouver x
     • -5 = x
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Méthode 5 sur 5: Utilisation de la solution quadratique pour résoudre des équations variables

1. 

   Croisez multipliez deux fractions. Pour les problèmes d'équivalence qui nécessitent l'utilisation de solutions quadratiques, nous commençons toujours par utiliser la multiplication croisée. Cependant, toute multiplication croisée implique de multiplier le terme contenant une variable par le terme contenant une autre variable a le potentiel de produire une expression qui ne peut pas être facilement résolue par la méthode algébrique. Dans de tels cas, vous devrez utiliser des techniques comme la factorisation et / ou des formules quadratiques.
   • Par exemple, considérons l'équation suivante ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Étape 1, nous croisons multiplier:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12.

2. 

   Exprimez l'équation sous forme d'équation quadratique. Nous devons maintenant représenter l'équation sous forme quadratique (ax + bx + c = 0), où nous mettons l'équation à 0. Dans ce cas, nous soustrayons les deux côtés par 12 pour obtenir 2x. - 14 = 0.
   • Certaines valeurs peuvent être égales à zéro. Bien que 2x - 14 = 0 soit la forme d'équation la plus simple, son quadratique est en fait 2x + 0x + (-14) = 0. Cela aide à refléter Corrigez la forme d'une équation quadratique même si certaines valeurs sont égales à 0.

3. 

   Résolvez une équation en insérant les coefficients connus dans la formule de la solution. La formule quadratique (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) nous aidera à résoudre le problème de trouver x à ce stade. N'ayez pas peur car la formule semble longue. Prenez simplement les valeurs de l'équation quadratique de la deuxième étape et replacez-les dans leurs positions respectives avant de résoudre.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. Dans l'équation, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 et c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10,58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   Vérifiez vos réponses en rebranchant le x dans votre équation quadratique. En remplaçant le x trouvé dans votre équation quadratique de la deuxième étape, vous pouvez facilement déterminer si votre réponse est vraie ou fausse. Dans cet exemple, vous remplaceriez à la fois 2,64 et -2,64 dans l'équation quadratique d'origine. publicité

Conseil

• La conversion de fractions en fractions de valeur égale consiste en fait à les multiplier par 1. Lors de la conversion de 1/2 en 2/4, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par 2 ou multiplions. 1/2 avec 2/2, ce qui équivaut à 1.
• Si vous le souhaitez, convertissez le nombre mixte en une fraction irrégulière pour faciliter la conversion. De toute évidence, toutes les fractions que vous rencontrez ne sont pas aussi faciles à convertir que notre exemple 4/8 ci-dessus. Par exemple, des nombres mixtes (par exemple 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) peuvent rendre la transition un peu plus compliquée. Si vous avez besoin de convertir un nombre mixte en une fraction équivalente, vous pouvez le faire de deux manières: convertir le nombre mixte en une fraction irrégulière, puis convertir comme d'habitude, ou Gardez le nombre mixte et considérez le nombre mixte comme la réponse.
  • Pour convertir une fraction irrégulière, multipliez la partie entière du nombre mixte par le dénominateur de la fraction, puis ajoutez-la au numérateur. Par exemple, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Ensuite, si vous le souhaitez, vous pouvez convertir en fractions équivalentes si nécessaire. Par exemple, 5/3 × 2/2 = 10/6, qui est toujours égal à 1 2/3.
  • Cependant, nous n'avons pas besoin de convertir la fraction irrégulière comme ci-dessus. Ignorez la partie entière, convertissez uniquement la partie fractionnaire, puis rajoutez la partie numérique entière à la partie fractionnaire convertie. Par exemple, pour 3 4/16, nous ne regarderons que 4/16. 4/16 & divide; 4/4 = 1/4. En ajoutant la partie entière, nous avons le nouveau nombre mixte 3 1/4.

avertissement

• La multiplication et la division sont utilisées pour créer des fractions équivalentes parce que multiplier et diviser par la forme fractionnaire du nombre 1 (2/2, 3/3, etc.) par définition n'a aucun effet sur les valeurs fractionnaires. original. L'addition et la soustraction ne font pas cela.
• Bien que vous multipliez le dénominateur et le dénominateur lors de la multiplication des fractions, vous ne pouvez pas ajouter ou soustraire le dénominateur lors de l'ajout ou de la soustraction de fractions.
  • Comme l'exemple ci-dessus, nous voyons que 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Si à la place je plus pour 4/4, la réponse sera complètement différente. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 bien 3/2, aucune réponse n'est égale à 4/8.