Contenu

• Pas
• Partie 1 sur 3: Extraction de la racine cubique avec un exemple simple
• Partie 2 sur 3: Estimation de la racine cubique
• Partie 3 sur 3: Explication du processus de calcul décrit
• Conseils
• Avertissements
• De quoi avez-vous besoin

Si vous avez une calculatrice à portée de main, vous pouvez facilement extraire la racine cubique de n'importe quel nombre. Mais si vous n'avez pas de calculatrice, ou si vous voulez juste impressionner les autres, extrayez manuellement la racine cubique. Pour la plupart des gens, le processus décrit ici semblera plutôt compliqué, mais avec de la pratique, il deviendra beaucoup plus facile d'extraire les racines cubiques. Avant de commencer à lire cet article, rappelez-vous les opérations mathématiques de base et les calculs avec des nombres dans un cube.

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Partie 1 sur 3: Extraction de la racine cubique avec un exemple simple

1. 1 Écrivez la tâche. L'extraction manuelle des racines cubiques est similaire à la division longue, mais avec quelques nuances. Tout d'abord, notez la tâche sous une forme spécifique.
   • Notez le nombre à partir duquel vous souhaitez extraire la racine cubique. Divisez le nombre en groupes de trois chiffres et commencez à compter avec une virgule décimale. Par exemple, vous devez extraire la racine cubique de 10. Écrivez le nombre comme ceci : 10 000 000. Des zéros supplémentaires sont utilisés pour améliorer la précision du résultat.
   • Dessinez un signe racine à côté et au-dessus du nombre. Imaginez que ce sont les lignes horizontales et verticales que vous tracez en longue division. La seule différence est la forme des deux personnages.
   • Placez un point décimal au-dessus de la ligne horizontale. Faites-le directement au-dessus de la virgule décimale du nombre d'origine.
2. 2 Souvenez-vous des résultats du cubage d'entiers. Ils seront utilisés dans les calculs.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 Trouvez le premier chiffre de la réponse. Sélectionnez un cube entier le plus proche mais plus petit que le premier groupe de trois chiffres.
   • Dans notre exemple, le premier groupe de trois chiffres est 10. Trouvez le plus grand cube inférieur à 10. Ce cube est 8 et la racine cubique de 8 est 2.
   • Au-dessus de la ligne horizontale au-dessus du chiffre 10, écrivez le chiffre 2. Ensuite, notez la valeur de l'opération ${ style d'affichage 2 ^ {3}}$ = 8 sous 10. Tracez une ligne et soustrayez 8 de 10 (comme dans la division longue). Le résultat est 2 (c'est le premier reste).
   • Ainsi, vous avez trouvé le premier chiffre de la réponse. Considérez si le résultat donné est suffisamment précis. Dans la plupart des cas, ce sera une réponse très approximative. Cub le résultat pour savoir à quel point il est proche du nombre d'origine. Dans notre exemple : ${ style d'affichage 2 ^ {3}}$ = 8, ce qui n'est pas très proche de 10, il faut donc continuer les calculs.
4. 4 Trouvez le chiffre suivant de la réponse. Ajoutez le deuxième groupe de trois nombres au premier reste et tracez une ligne verticale à gauche du nombre obtenu. En utilisant le nombre résultant, vous trouverez le deuxième chiffre de la réponse. Dans notre exemple, le deuxième groupe de trois chiffres (000) doit être ajouté au premier reste (2) pour obtenir le nombre 2000.
   • A gauche de la ligne verticale, vous écrivez trois nombres, dont la somme est égale à un premier facteur. Laissez des espaces vides pour ces nombres et placez des signes plus entre les deux.
5. 5 Trouvez le premier terme (sur trois). Dans le premier espace vide, notez le résultat de la multiplication de 300 par le carré du premier chiffre de la réponse (il est écrit au-dessus du signe racine). Dans notre exemple, le premier chiffre de la réponse est 2, donc 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Écrivez 1200 dans le premier espace vide. Le premier terme est 1200 (plus deux autres nombres à trouver).
6. 6 Trouvez le deuxième chiffre de la réponse. Découvrez quel nombre vous devez multiplier 1200 pour que le résultat soit proche, mais ne dépasse pas 2000. Ce nombre ne peut être que 1, puisque 2 * 1200 = 2400, ce qui est supérieur à 2000. Écrivez 1 (deuxième chiffre du réponse) après 2 et virgule décimale au-dessus du signe racine.
7. 7 Trouvez les deuxième et troisième termes (sur trois). Le facteur se compose de trois nombres (termes), dont le premier que vous avez déjà trouvé (1200). Maintenant, nous devons trouver les deux termes restants.
   • Multipliez 3 par 10 et par chaque chiffre de la réponse (ils sont écrits au-dessus du signe racine). Dans notre exemple : 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Ajoutez ce résultat à 1200 et obtenez 1260.
   • Enfin, placez le dernier chiffre de votre réponse au carré. Dans notre exemple, le dernier chiffre de la réponse est 1, donc 1 ^ 2 = 1. Le premier facteur est donc la somme des nombres suivants : 1200 + 60 + 1 = 1261. Écrivez ce nombre à gauche de la barre verticale .
8. 8 Multiplier et soustraire. Multipliez le dernier chiffre de la réponse (dans notre exemple c'est 1) par le facteur trouvé (1261) : 1 * 1261 = 1261. Écrivez ce nombre sous 2000 et soustrayez-le de 2000. Vous obtiendrez 739 (c'est le deuxième reste).
9. 9 Déterminez si la réponse que vous avez reçue est suffisamment précise. Faites-le à chaque fois que vous effectuez la soustraction suivante. Après la première soustraction, la réponse était 2, ce qui n'est pas un résultat exact. Après la deuxième soustraction, la réponse est 2.1.
   • Pour vérifier l'exactitude de la réponse, cub it: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Si vous pensez que la réponse est suffisamment précise, vous n'avez pas à continuer les calculs ; sinon, faites une autre soustraction.
10. 10 Trouvez le deuxième facteur. Pour pratiquer vos calculs et obtenir un résultat plus précis, répétez les étapes ci-dessus.
    • Ajoutez le troisième groupe de trois chiffres (000) au deuxième reste (739). Vous obtiendrez le numéro 739000.
    • Multipliez 300 par le carré du nombre écrit au-dessus du signe racine (21) : ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • Trouvez le troisième chiffre de la réponse. Découvrez quel nombre vous devez multiplier 132300 pour que le résultat soit proche, mais ne dépasse pas 739000. Ce nombre est 5: 5 * 132200 = 661500. Écrivez 5 (troisième chiffre de la réponse) après 1 au-dessus du signe racine.
    • Multipliez 3 par 10 par 21 et par le dernier chiffre de la réponse (ils sont écrits au-dessus du signe racine). Dans notre exemple : ${ style d'affichage 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • Enfin, placez le dernier chiffre de votre réponse au carré. Dans notre exemple, le dernier chiffre de la réponse est 5, donc ${ style d'affichage 5 ^ {2} = 25.}$
    • Ainsi, le deuxième facteur est : 132300 + 3150 + 25 = 135 475.
11. 11 Multipliez le dernier chiffre de votre réponse par le deuxième facteur. Après avoir trouvé le deuxième facteur et le troisième chiffre de la réponse, procédez comme suit :
    • Multipliez le dernier chiffre de la réponse par le facteur trouvé : 135475 * 5 = 677375.
    • Soustraire : 739000 - 677375 = 61625.
    • Déterminez si la réponse que vous avez reçue est suffisamment précise. Pour ce faire, cubez-le : ${ style d'affichage 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$.
12. 12 Écrivez votre réponse. Le résultat écrit au-dessus du signe racine est la réponse avec deux décimales. Dans notre exemple, la racine cubique de 10 est 2,15. Vérifiez votre réponse en la cubant : 2,15 ^ 3 = 9,94, soit environ 10. Si vous avez besoin de plus de précision, continuez le calcul (comme décrit ci-dessus).

Partie 2 sur 3: Estimation de la racine cubique

1. 1 Utilisez des cubes de nombres pour déterminer les limites supérieure et inférieure. Si vous devez extraire la racine cubique de presque n'importe quel nombre, trouvez des cubes (certains nombres) proches du nombre donné.
   • Par exemple, vous devez extraire la racine cubique de 600. Puisque ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ et ${ style d'affichage 9 ^ {3} = 729}$, alors la racine cubique de 600 est comprise entre 8 et 9. Par conséquent, utilisez 512 et 729 comme limites supérieure et inférieure de votre réponse.
2. 2 Estimez le deuxième nombre. Vous avez trouvé le premier nombre grâce à votre connaissance des cubes d'entiers. Convertissez maintenant un entier en fraction décimale en lui attribuant (après la virgule) un chiffre de 0 à 9. Vous devez trouver une fraction décimale dont le cube sera proche, mais inférieur au nombre d'origine.
   • Dans notre exemple, le nombre 600 est compris entre 512 et 729. Par exemple, au premier nombre trouvé (8), ajoutez le nombre 5. Vous obtenez le nombre 8.5.
3. 3 Estimez le nombre obtenu en le construisant dans un cube. Faites cela pour vérifier que le cube est proche mais pas plus grand que le nombre d'origine.
   • Dans notre exemple : ${ style d'affichage 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 Évaluez un nombre différent si nécessaire. Comparez le cube du nombre obtenu avec le nombre d'origine. Si le cube du nombre résultant est plus grand que le nombre d'origine, essayez d'évaluer un nombre inférieur. Si le cube du nombre résultant est beaucoup plus petit que le nombre d'origine, évaluez les grands nombres jusqu'à ce que le cube de l'un d'eux dépasse le nombre d'origine.
   • Dans notre exemple : ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Ainsi, estimez le plus petit nombre 8.4. Cube ce nombre et compare-le avec le nombre d'origine : ${ style d'affichage 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... Ce résultat est inférieur au nombre initial. Ainsi, la racine cubique de 600 est comprise entre 8,4 et 8,5.
5. 5 Évaluez le nombre suivant pour améliorer l'exactitude de votre réponse. Pour chaque nombre que vous avez noté en dernier, ajoutez un nombre de 0 à 9 jusqu'à ce que vous obteniez la réponse exacte. À chaque tour d'évaluation, vous devez trouver les limites supérieure et inférieure entre lesquelles se trouve le nombre d'origine.
   • Dans notre exemple : ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ et ${ style d'affichage 8.5 ^ {3} = 614.1}$... Le nombre d'origine 600 est plus proche de 592 que de 614. Par conséquent, au dernier nombre que vous avez estimé, ajoutez un chiffre plus proche de 0 que de 9. Par exemple, ce nombre est 4. Par conséquent, cub le nombre 8,44.
6. 6 Évaluez un nombre différent si nécessaire. Comparez le cube du nombre obtenu avec le nombre d'origine. Si le cube du nombre résultant est plus grand que le nombre d'origine, essayez d'évaluer un nombre inférieur. En bref, vous devez trouver deux nombres dont les cubes sont légèrement plus grands et légèrement plus petits que le nombre d'origine.
   • Dans notre exemple ${ style d'affichage 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... C'est légèrement plus grand que le nombre d'origine, alors évaluez un autre nombre (plus petit), par exemple 8.43 : ${ style d'affichage 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... Ainsi, la racine cubique de 600 est comprise entre 8,43 et 8,44.
7. 7 Suivez ce processus jusqu'à ce que vous obteniez une réponse satisfaisante pour vous. Évaluez le numéro suivant, comparez-le avec l'original, puis évaluez un autre numéro si nécessaire, et ainsi de suite. Notez que chaque chiffre supplémentaire après la virgule augmente la précision de votre réponse.
   • Dans notre exemple, le cube du nombre 8.43 est inférieur au nombre d'origine de moins de 1. Si vous avez besoin de plus de précision, cubez le nombre 8.434 et obtenez cela ${ style d'affichage 8 434 ^ {3} = 599,93}$, c'est-à-dire que le résultat est inférieur de moins de 0,1 au nombre d'origine.

Partie 3 sur 3: Explication du processus de calcul décrit

1. 1 Rappelez-vous la série binomiale. Une série binomiale est le résultat de l'élévation d'un binôme (binôme) à une certaine puissance, dans ce cas à un cube. Pour comprendre l'algorithme d'extraction de racine cubique décrit ici, rappelez-vous d'abord comment un binôme est un cube. Il y a de fortes chances que vous ayez appris cela à l'école (et que vous l'avez probablement bientôt oublié, comme le font la plupart des gens). Variables ${ style d'affichage A}$ et ${ style d'affichage B}$ marquer quelques chiffres uniques. Ensuite, le nombre à deux chiffres peut être écrit sous la forme d'un binôme ${ style d'affichage (10A + B)}$.
   • Ici le membre ${ style d'affichage 10A}$ représente la place des dizaines, c'est-à-dire si ${ style d'affichage A}$ Est un nombre à un chiffre, alors ${ style d'affichage 10A}$ - c'est déjà le numéro à deux chiffres correspondant. Par exemple, si ${ style d'affichage A}$ = 2, et ${ style d'affichage B}$ = 6, alors ${ style d'affichage (10A + B)}$ = 26, c'est-à-dire que vous avez un nombre à deux chiffres 26.
2. 2 Cube le binôme. Faites-le afin de comprendre le processus d'extraction de racine cubique décrit dans la première section. Calculer ${ style d'affichage (10A + B) ^ {3}}$ = ${ style d'affichage (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (ici nous avons omis plusieurs étapes de construction du cube, afin de ne pas encombrer l'article de calculs).
   • Une explication détaillée peut être trouvée ici.
3. 3 Comprendre l'algorithme de division longue. Notez que la méthode de la racine cubique décrite ici est très similaire à la division longue. Lors de la division dans une colonne, vous devez trouver le nombre (quotient), multiplié par le diviseur, vous obtenez le dividende. Dans la méthode décrite, le résultat de l'extraction de la racine cubique (il est écrit au-dessus du signe de la racine) est utilisé comme quotient. C'est-à-dire que le résultat de l'extraction de la racine cubique peut être représenté sous la forme d'un binôme (10A + B). Les valeurs exactes de A et B ne sont pas importantes à ce stade : rappelez-vous simplement que le résultat peut être écrit sous forme de binôme.
4. 4 Regardez la gamme binomiale. C'est la somme de quatre monômes, grâce auxquels vous pouvez comprendre le principe de fonctionnement de l'algorithme d'extraction de racine cubique. Veuillez noter que le multiplicateur pour chaque étape d'extraction de la racine est égal à la somme des quatre termes qui doivent être calculés et additionnés.
   • Le facteur pour le premier terme est 1000. Pour calculer le premier chiffre de la réponse, vous devez d'abord trouver le cube d'un entier qui est le plus proche mais inférieur à un certain nombre (à savoir le premier groupe de trois chiffres). Ceci définit le membre 1000A ^ 3 de la série binomiale.
   • Le multiplicateur du deuxième terme de la série binomiale est le nombre 300 (${ style d'affichage 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Rappelons qu'à chaque étape de l'extraction de la racine cubique, le ou les chiffres correspondants de la réponse ont été multipliés par 300.
   • Le deuxième terme à chaque étape de l'extraction des racines est déterminé par le troisième terme de la série binomiale, qui est égal à 30AB ^ 2.
   • Le troisième terme à chaque étape de l'extraction des racines est déterminé par le quatrième terme de la série binomiale, qui est égal à B ^ 3.
5. 5 Notez l'augmentation de la précision de la réponse. Plus vous franchissez d'étapes d'extraction de racines, plus la réponse sera précise. Par exemple, dans cet article, vous deviez extraire la racine cubique de 10. A la première étape, la réponse est 2, puisque ${ style d'affichage 2 ^ {3}}$ = 8, ce qui est proche, mais inférieur à 10. A la deuxième étape, la réponse est 2.1, car ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$, ce qui est beaucoup plus proche de 10. Au troisième stade, la réponse est 2,15, puisque ${ style d'affichage 2.15 ^ {3} = 9.94}$... Vous pouvez continuer le calcul en utilisant des groupes de trois chiffres pour améliorer la précision de votre réponse.

Conseils

• Entraînez-vous à maîtriser les méthodes décrites. Plus vous vous entraînez, plus vous accélérerez les calculs.

Avertissements

• Il est assez facile de se tromper dans le processus de calcul. Assurez-vous donc de vérifier la réponse.

De quoi avez-vous besoin

• Stylo ou crayon
• Papier
• Règle
• La gomme