Contenu

• Avancer d'un pas
• Méthode 1 sur 2: Extraction de racines avec des facteurs premiers
• Méthode 2 sur 2: Recherche de racines carrées sans calculatrice
• Avec une longue division
• Comprendre la procédure
• Conseils
• Mises en garde

Avant l'avènement des calculatrices, les étudiants et les professeurs devaient calculer les racines carrées avec un stylo et du papier. Diverses techniques ont été développées à l'époque pour s'attaquer à ce travail parfois difficile, dont certaines donnent une estimation approximative et d'autres calculent la valeur exacte. Lisez la suite pour savoir comment trouver la racine carrée d'un nombre en quelques étapes faciles.

Avancer d'un pas

Méthode 1 sur 2: Extraction de racines avec des facteurs premiers

1. Divisez votre nombre en facteurs de puissance. Cette méthode utilise les facteurs d'un nombre pour trouver la racine carrée d'un nombre (selon le nombre, cela peut être une réponse exacte ou une estimation). le les facteurs d'un nombre donné sont toute séquence de nombres qui sont multipliés ensemble pour former ce nombre particulier. Par exemple, vous pouvez dire que les facteurs de 8 sont égaux à 2 et 4 parce que 2 × 4 = 8. Les carrés parfaits, par contre, sont des entiers qui sont le produit d'autres entiers. Par exemple, 25, 36 et 49 sont des carrés parfaits parce qu'ils sont respectivement égaux à 5, 6 et 7. Les seconds facteurs de puissance, comme vous l'aurez compris, sont des facteurs qui sont aussi des carrés parfaits. Pour trouver une racine carrée à l'aide de facteurs premiers, essayez d'abord de diviser le nombre en ses seconds facteurs de puissance.
   • Prenons l'exemple suivant. Nous allons trouver la racine carrée de 400. Pour commencer, nous divisons le nombre en facteurs de puissance. Puisque 400 est un multiple de 100, nous savons qu'il est divisible par 25 - un carré parfait. Rote rapide nous dit que 400/25 = 16,16 se trouve également être un carré parfait. Ainsi, les facteurs cubiques de 400 sont 25 et 16 parce que 25 × 16 = 400.
   • Nous écrivons ceci comme suit: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Prenez les racines carrées de vos deuxièmes facteurs de puissance. La règle du produit des racines carrées stipule que pour tout nombre donné une et b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). En raison de cette propriété, nous pouvons maintenant prendre les racines carrées des facteurs carrés et les multiplier ensemble pour obtenir la réponse.
   • Dans notre exemple, nous prenons les racines carrées de 25 et 16. Voir ci-dessous:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Si votre numéro ne peut pas être parfaitement pris en compte, simplifiez-le. En réalité, les nombres dont vous voulez déterminer les racines carrées ne seront pas de beaux nombres arrondis avec de jolis carrés comme 400. Dans ces cas, il peut ne pas être possible d'obtenir un nombre entier comme réponse. Au lieu de cela, en utilisant tous les facteurs de puissance que vous pouvez trouver, vous pouvez déterminer la réponse sous la forme d'une racine carrée plus petite et plus facile à utiliser. Vous faites cela en réduisant le nombre à une combinaison de facteurs de puissance et d'autres facteurs, puis en le simplifiant.
   • Prenons la racine carrée de 147 comme exemple. 147 n'est pas le produit de deux carrés parfaits, nous ne pouvons donc pas obtenir une bonne valeur entière. Mais c'est le produit d'un carré parfait et d'un autre nombre - 49 et 3. Nous pouvons utiliser cette information pour écrire notre réponse dans les termes les plus simples:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × carré (3)
4. Simplifiez, si nécessaire. En utilisant la racine carrée dans les termes les plus simples, il est généralement assez facile d'obtenir une estimation approximative de la réponse en estimant les racines carrées restantes et en les multipliant. Une façon d'améliorer vos estimations est de trouver les carrés parfaits de chaque côté du nombre dans votre racine carrée. Vous savez que la valeur décimale du nombre dans votre racine carrée se situe quelque part entre ces deux nombres, donc votre estimation devra également être entre ces nombres.
   • Revenons à notre exemple. Puisque 2 = 4 et 1 = 1, nous savons que Sqrt (3) est compris entre 1 et 2 - probablement plus proche de 2 que 1. Nous estimons que 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Si nous vérifions cela avec la calculatrice, nous voyons que nous sommes assez proches de la réponse: 12,13.
     • Cela fonctionne également pour les plus grands nombres. Par exemple, sqrt (35) est à peu près entre 5 et 6 (probablement plus proche de 6). 5 = 25 et 6 = 36,35 est compris entre 25 et 36, donc la racine carrée sera comprise entre 5 et 6. Puisque 35 est juste en dessous de 36, nous pouvons dire avec certitude que la racine carrée de celui-ci juste est inférieur à 6. Vérifier avec une calculatrice nous donne une réponse d'environ 5,92 - nous avions raison.
5. Vous pouvez également, dans un premier temps, simplifier le nombre en multiple moins commun. La recherche de facteurs de puissance n'est pas nécessaire si vous pouvez facilement trouver des facteurs premiers d'un nombre (facteurs qui sont également des nombres premiers en même temps). Écrivez le nombre en termes de multiples les moins communs. Recherchez ensuite entre vos facteurs pour trouver des paires de nombres premiers identiques. Lorsque vous trouvez deux facteurs premiers qui correspondent, supprimez-les de la racine carrée et placez une de ces nombres en dehors du signe de la racine carrée.
   • Par exemple, nous déterminons la racine carrée de 45 en utilisant cette méthode. Nous savons que 45 = 9 × 5 et que 9 = 3 × 3. Nous pouvons donc écrire la racine carrée comme ceci: Sqrt (3 × 3 × 5). Supprimez simplement les 3 et placez un 3 en dehors de la racine carrée pour obtenir une racine carrée simplifiée: (3) Sqrt (5). Maintenant, vous pouvez facilement faire une estimation.
   • Un dernier exemple; nous déterminons la racine carrée de 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Nous avons plusieurs 2 dans notre racine carrée. Puisque 2 est premier, nous pouvons supprimer une paire et placer un 2 à l'extérieur de la racine.
     • = Notre racine carrée en termes simples est (2) Sqrt (2 × 11) ou (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Nous pouvons maintenant aborder Sqrt (2) et Sqrt (11) et trouver une réponse approximative, si nous le voulions.

Méthode 2 sur 2: Recherche de racines carrées sans calculatrice

Avec une longue division

1. Divisez les chiffres de votre numéro en paires. Cette méthode est similaire à la division longue, qui vous permet de diviser exact racine carrée d'un nombre chiffre par chiffre. Bien que cela ne soit pas essentiel, diviser un nombre en morceaux exploitables peut faciliter la résolution, surtout si elle est longue. Tracez d'abord une ligne verticale divisant la zone de travail en 2 zones, puis une ligne plus courte près du haut de la zone droite, en la divisant en une partie supérieure plus petite et une partie plus grande en dessous. Ensuite, divisez le nombre en paires de nombres, en commençant par la virgule décimale. Selon cette règle, 79520789182.47897 devient "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Écrivez ce nombre dans la zone supérieure gauche.
   • À titre d'exemple, calculons la racine carrée de 780,14. Divisez votre espace de travail comme ci-dessus et écrivez «7 80, 14» dans le coin supérieur gauche. Ce n'est pas grave s'il n'y a qu'un seul numéro à l'extrême gauche, au lieu de deux. Vous écrivez ensuite la réponse (la racine carrée de 780,14) en haut de la zone de droite.
2. Trouver le plus grand entier n dont le carré est inférieur ou égal au chiffre ou au nombre le plus à gauche. Trouvez le plus grand carré inférieur ou égal à ce nombre, puis recherchez la racine carrée de ce carré. Ce nombre est n. Écrivez cela dans la zone supérieure droite et écrivez le carré de n dans le quadrant inférieur de cette zone.
   • Dans notre exemple, le chiffre le plus à gauche est le nombre 7. Puisque nous savons que 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, nous pouvons dire que n = 2 car c'est le plus grand entier dont le carré est inférieur ou égal à 7. Écrivez 2 dans le quadrant supérieur droit. Ceci est le premier chiffre de la réponse. Écrivez 4 (le carré de 2) dans le quadrant inférieur droit. Ce numéro est important pour la prochaine étape.
3. Soustrayez le nombre que vous avez calculé du chiffre ou du nombre le plus à gauche. Comme pour la division longue, l'étape suivante consiste à soustraire le carré du nombre que nous venons d'utiliser pour le calcul. Écrivez ce nombre sous le nombre le plus à gauche et soustrayez-les. Écrivez la réponse ci-dessous.
   • Dans notre exemple, nous écrivons un 4 sous 7 et le soustrayons. Cela donne 3 en réponse.
4. Déplacez le numéro suivant vers le bas. Placez-le à côté de la valeur que vous avez trouvée lors de la modification précédente. Multipliez le nombre en haut à droite par deux et notez-le en bas à droite. Laissez un espace à côté du nombre que vous venez d'écrire pour la somme que vous ferez à l'étape suivante. Écrivez ici "_ × _ =" ".
   • Dans notre exemple, le numéro suivant est "80". Écrivez «80» à côté du 3 dans le quadrant de gauche. Multipliez ensuite le nombre en haut à droite par 2. Ce nombre est 2, donc 2 × 2 = 4. Notez "" 4 "" en bas à droite, suivi de _×_=.
5. Entrez les chiffres sur la droite. Dans l'espace vide de la somme (à droite), entrez le plus grand entier qui rendra le résultat de la somme de multiplication à droite inférieur ou égal au nombre actuel à gauche.
   • Dans notre exemple, nous entrons 8, et cela donne 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. C'est plus grand que 380. Donc 8 est trop grand, mais 7 ne l'est probablement pas. Remplissez 7 et résolvez: 4 (7) × 7 = 329. 7 est bon parce que 329 est inférieur à 380. Écrivez 7 en haut à droite. Il s'agit du deuxième chiffre de la racine carrée de 780,14.
6. Soustrayez le nombre que vous venez de calculer du nombre actuel sur la gauche. Vous soustrayez donc le résultat de la multiplication à droite de la réponse actuelle à gauche. Écrivez votre réponse directement en dessous.
   • Dans notre exemple, nous soustrayons 329 de 380, ce qui donne 51 à la suite.
7. Répétez l'étape 4. Déplacez la prochaine paire de nombres vers le bas de 780,14. Lorsque vous arrivez à une virgule, écrivez cette virgule dans la réponse à droite. Ensuite, multipliez le nombre en haut à droite par 2 et écrivez la réponse à côté de ("_ × _") comme ci-dessus.
   • Dans notre réponse, nous écrivons maintenant une virgule car nous rencontrons également cela dans 780.14. Déplacez la paire suivante (14) dans le quadrant gauche. 27 x 2 = 54, nous écrivons donc "54 _ × _ =" dans le quadrant inférieur droit.
8. Répétez les étapes 5 et 6. Trouvez le plus grand nombre qui donne une réponse inférieure ou égale au nombre actuel sur la gauche. Résoudre.
   • Dans notre exemple, 549 × 9 = 4941, ce qui est inférieur ou égal au nombre de gauche (5114). 549 × 10 = 5490, ce qui est trop élevé, donc 9 est notre réponse. Écrivez 9 comme nombre supérieur droit suivant et soustrayez le résultat de la multiplication du nombre gauche: 5114 -4941 = 173.
9. Pour rendre le résultat précis, répétez la procédure précédente jusqu'à ce que vous trouviez la réponse avec le nombre de décimales (centièmes, millièmes) dont vous avez besoin.

Comprendre la procédure

1. Considérez le nombre dont vous voulez calculer la racine carrée comme l'aire S d'un carré. Puisque l'aire d'un carré est L, où L est la longueur de l'un de ses côtés, donc en trouvant la racine carrée de votre nombre, vous essayez de calculer la longueur L du côté de ce carré.
2. Donnez à chaque chiffre de votre réponse une lettre. Entrez la variable A comme premier chiffre de L (la racine carrée que nous essayons de calculer). B est le deuxième chiffre, C le troisième, et ainsi de suite.
3. Donnez une lettre à chaque «paire de chiffres» du nombre par lequel vous commencez. Donnez la variable S_une à la première paire de chiffres de S (la valeur initiale), S._b à la deuxième paire de chiffres, etc.
4. Comprenez la relation entre cette méthode et la longue division. Cette méthode de recherche d'une racine carrée est essentiellement une longue division, où vous divisez la valeur initiale par sa racine carrée et «donnez» la racine carrée comme réponse. Comme pour la division longue, où vous n'êtes intéressé que par le chiffre suivant à la fois, vous n'êtes intéressé que par les deux chiffres suivants à la fois (qui correspondent au chiffre suivant de la racine carrée).
5. Trouvez le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal à S._une est. Le premier chiffre A de notre réponse est alors le plus grand entier dont le carré n'est pas supérieur à S._une (A tel que A² ≤ Sa (A + 1) ²). Dans notre exemple, S_une = 7 et 2² ≤ 7 3², donc A = 2.
   • Notez que si vous divisez 88962 par 7 en utilisant une division longue, la première étape est égale: vous traitez d'abord le premier chiffre de 88962 (8) et vous voulez que le plus grand chiffre multiplié par 7 soit inférieur ou égal à 8. Essentiellement, vous déterminer ré tel que 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Dans ce cas, d vaut 1.
6. Visualisez le carré dont vous souhaitez trouver l'aire. Votre réponse, la racine carrée de la valeur initiale, est L, qui décrit la longueur d'un carré d'aire S (la valeur initiale). Les valeurs pour A, B et C représentent les chiffres de la valeur L.Une autre façon de dire cela est que pour une réponse à 2 chiffres, 10A + B = L, et pour une réponse à 3 chiffres, 100A + 10B + C = L, et ainsi de suite.
   • Dans notre exemple (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Rappelez-vous que 10A + B représente notre réponse L avec B dans la position des unités et A dans la position des dizaines. Par exemple, si A = 1 et B = 2, alors 10A + B est le nombre 12. (10A + B) ² est l'aire de la place entière, tandis que 100A² est l'aire du plus grand carré intérieur, B² est l'aire de la plus petite place et 10A × B est l'aire de chacun des rectangles restants. Grâce à cette procédure longue et compliquée, nous pouvons trouver l'aire du carré entier en ajoutant les aires des carrés et des rectangles qui en font partie.
7. Soustrayez A² de S._une. Apportez une paire de chiffres (S._b) à partir du nombre S. S._une S._b est presque la superficie totale du carré, dont vous venez de soustraire la superficie du plus grand carré intérieur. Le reste est, disons, le nombre N1, que nous avons obtenu à l'étape 4 (N1 = 380 dans notre exemple). N1 est égal à 2 × 10A × B + B² (l'aire des 2 rectangles plus l'aire du petit carré).
8. Regardez N1 = 2 × 10A × B + B², également écrit comme N1 = (2 × 10A + B) × B. Dans notre exemple, vous connaissez déjà N1 (380) et A (2), vous devez donc maintenant trouver B. B n'est probablement pas un entier, vous devez donc en fait trouver le plus grand entier B, tel que (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Alors maintenant, vous avez: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Résous l'équation. Pour résoudre cette équation, multipliez A par 2, changez-le par dix (multipliez par 10), mettez B dans les unités et multipliez le résultat par B. En d'autres termes, (2 × 10A + B) × B. C'est exactement ce que vous faites lorsque vous écrivez «N_ × _ =» (avec N = 2 × A) dans le quadrant inférieur droit à l'étape 4. À l'étape 5, vous déterminez le plus grand entier B qui tient sous la ligne, donc (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Soustrayez la superficie (2 × 10A + B) × B de la superficie totale. Cela donne l'aire S- (10A + B) ² que vous n'avez pas encore prise en compte (et que vous utilisez pour calculer les nombres suivants de la même manière).
11. Pour calculer le chiffre C suivant, répétez la procédure. Déplacer la prochaine paire de nombres de S vers le bas (S_c) pour obtenir N2 à gauche, et recherchez le plus grand C de sorte que vous ayez maintenant: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (égal à deux fois le nombre à deux chiffres "AB" suivi by "_ × _ =" Déterminez maintenant le plus grand nombre que vous pouvez saisir ici, ce qui vous donnera une réponse inférieure ou égale à N2.

Conseils

• Déplacer la virgule de deux endroits (un facteur de 100) déplace la virgule dans la racine carrée correspondante d'un endroit (un facteur de 10).
• Dans l'exemple, 1,73 peut être considéré comme "reste": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Cette méthode fonctionne pour n'importe quel système numérique, pas seulement le système décimal (décimal).
• N'hésitez pas à placer les calculs où vous le souhaitez. Certaines personnes l'écrivent au-dessus du nombre dont elles veulent calculer la racine carrée.
• Une autre méthode est la suivante: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Par exemple, pour calculer la racine carrée de 780,14, prenez l'entier dont le carré est le plus proche de 780,14 (28), donc = 780,14, x = 28 et y = -3,86. Remplir et estimer nous donne x + y / (2x) et cela donne (termes simplifiés) 78207/2800 ou environ 27,931 (1); le terme suivant, 4374188/156607 ou environ 27,930986 (5). Chaque terme ajoute environ 3 décimales de précision au précédent.

Mises en garde

• Assurez-vous de diviser le nombre en paires à partir de la virgule décimale. Division 79520789182.47897 en "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "donne un résultat incorrect.