Formuler des preuves mathématiques

Vidéo: [Hervé Lehning] Les mathématiques pour comprendre le monde

Contenu

Avancer d'un pas
Méthode 1 sur 3: Comprendre le problème
Méthode 2 sur 3: Structurer une preuve
Méthode 3 sur 3: Formulation des preuves
Conseils

Les preuves mathématiques peuvent être difficiles, mais avec une bonne connaissance de base des mathématiques et de la structure d'une preuve, vous pouvez certainement les formuler avec succès. Malheureusement, il n’existe pas de moyen simple et rapide d’apprendre à constituer des preuves. Vous avez besoin d'une base solide dans votre connaissance du sujet pour trouver les thèses et les définitions correctes pour développer logiquement vos preuves. En lisant des exemples et en pratiquant vous-même, vous serez en mesure de maîtriser les compétences de vérification mathématique.

Avancer d'un pas

Méthode 1 sur 3: Comprendre le problème

Comprenez la question. Vous devez d'abord déterminer exactement ce que vous essayez de prouver. Cette question servira également de thèse finale de la preuve. Dans cette étape, vous définirez également les hypothèses sur lesquelles vous travaillerez. Identifier la question et faire les hypothèses nécessaires vous donne un point de départ pour comprendre le problème et développer les preuves.
Dessinez des diagrammes. Lorsque vous essayez de comprendre le fonctionnement interne d'un problème mathématique, il est parfois plus facile de dessiner un diagramme de ce qui se passe. Les graphiques sont particulièrement importants dans les preuves géométriques car ils vous permettent de visualiser ce que vous voulez réellement prouver.
- Utilisez les informations fournies dans le problème pour dessiner une image de la preuve. Nommez les connaissances et les inconnus.
- Lors de l'élaboration des preuves, utilisez les informations nécessaires pour étayer les preuves.
Étudiez les preuves de théorèmes apparentés. Les preuves sont difficiles à apprendre à construire, mais un excellent moyen de l'apprendre est d'étudier les déclarations connexes et la manière dont elles ont été prouvées.
- Comprenez que la preuve n'est qu'un bon argument où chaque étape est étayée. Vous pouvez trouver de nombreuses preuves à étudier, à la fois en ligne et dans un manuel.
Poser des questions. Il est tout à fait normal de se retrouver coincé dans une preuve. Demandez à votre professeur ou à vos camarades de classe si vous ne pouvez pas le comprendre. Ces derniers peuvent avoir des questions similaires et vous pouvez travailler ensemble sur les problèmes. Il vaut mieux poser des questions et ensuite comprendre que de parcourir aveuglément les preuves.
- Consultez votre professeur après les cours pour obtenir des explications supplémentaires.

Méthode 2 sur 3: Structurer une preuve

Définissez des preuves mathématiques. Une preuve mathématique est un ensemble d'énoncés logiques supportés par des théorèmes et des définitions qui prouvent l'exactitude d'un autre énoncé mathématique. Les preuves sont le seul moyen de savoir si une assertion est mathématiquement valide.
- Être capable de formuler une preuve mathématique indique une compréhension fondamentale du problème lui-même et de tous les concepts impliqués dans le problème.
- Les preuves vous obligent également à regarder les mathématiques d'une manière nouvelle et passionnante. Le simple fait d'essayer de prouver quelque chose vous donnera plus de connaissances et de perspicacité à ce sujet, même si vos preuves ne semblent pas correctes à la fin.
Connaissez votre public. Avant d'écrire une preuve, vous devez penser au public pour lequel vous l'écrivez et à ce qu'il sait déjà. Si vous écrivez une preuve pour une publication, vous le ferez différemment que pour une classe de lycée.
- Connaître votre public vous permet de formuler les preuves d'une manière qu'il comprendra compte tenu de la quantité de connaissances de base dont dispose le public.
Comprenez le type de preuves que vous présentez. Il existe différents types de preuves, et celle que vous choisissez dépend de votre public cible et de la mission. Si vous ne savez pas quelle version utiliser, demandez conseil à votre enseignant. Au lycée, on peut s'attendre à ce que vous formuliez les preuves dans un format spécifique, comme une preuve formelle à deux colonnes.
- Une preuve à deux colonnes est une structure dans laquelle les données et les assertions sont placées dans une colonne et les preuves à l'appui à côté dans une deuxième colonne. Ils sont très souvent utilisés en géométrie.
- La preuve de paragraphe informel utilise des déclarations grammaticalement correctes et moins de symboles. À un niveau supérieur, vous devez toujours utiliser une preuve informelle.
Écrivez la preuve en deux colonnes comme un aperçu. Structurer une preuve en deux colonnes est un moyen facile d'organiser vos pensées et de considérer le problème. Tracez une ligne au centre de la page et écrivez toutes les données et déclarations sur la gauche. Écrivez les définitions / déclarations correspondantes à droite, à côté des données qu'elles prennent en charge.
- Par exemple:
- L'angle A et l'angle B forment une paire linéaire. Étant donné.
- Le coin ABC est droit. Définition d'un angle droit.
- L'angle ABC est de 180 °. Définition d'une ligne.
- Angle A + angle B = angle ABC. Postulez pour ajouter des angles.
- Angle A + angle B = 180 °. Substitution.
- Angle A en complément de l'angle B. Définition d'angles supplémentaires.
- Q.E.D.
Convertissez la preuve en deux colonnes en une preuve informelle. En vous basant sur la preuve en deux colonnes, écrivez une preuve informelle sous forme de paragraphe sans trop de symboles et d'abréviations.
- Par exemple, disons que les angles A et B sont des paires linéaires. L'hypothèse est que l'angle A et l'angle B se complètent (sont complémentaires). L'angle A et l'angle B forment une ligne droite car ce sont des paires linéaires. Une ligne droite est définie comme un angle de 180 °. Compte tenu du postulat pour l'addition des angles, les angles A et B forment ensemble la ligne ABC. Par substitution, A et B ensemble font 180 °, ce sont donc des angles supplémentaires. Q.E.D.

Méthode 3 sur 3: Formulation des preuves

Apprenez le vocabulaire de la preuve mathématique. Il y a certaines déclarations et phrases que vous continuez à voir dans une preuve mathématique. Ce sont des phrases avec lesquelles vous devriez être familier et être capable de bien utiliser lorsque vous formulez vos propres preuves.
- "Si A, alors B" signifie que vous devez montrer que si A est vrai, B doit également être vrai.
- "A si et seulement si B" signifie que vous devez prouver que A et B sont vrais et faux en même temps. Prouvez à la fois «Si A, alors B» et «si ce n'est pas A, alors pas B».
- "A seulement si B" signifie la même chose que "Si A, alors B", il n'est donc pas souvent utilisé. Il est bon d'en être conscient lorsque vous le rencontrez.
- Lorsque vous faites la preuve, vous devez éviter d'utiliser «je» en faveur de «nous».
Notez toutes les données. Lors de la constitution d'une preuve, la première étape consiste à identifier et à enregistrer toutes les données. C'est le meilleur point de départ car il vous aidera à réfléchir à ce que l'on sait et aux informations dont vous avez besoin pour compléter les preuves. Lisez le problème et notez chaque information.
- Par exemple: Démontrez que deux angles formant une paire linéaire (angle A et angle B) sont complémentaires.
- Étant donné: l'angle A et l'angle B forment une paire linéaire
- Preuve: l'angle A est complémentaire à l'angle B.
Définissez toutes les variables. En plus d'écrire les données, il est utile de définir toutes les variables. Écrivez les définitions au début de la preuve pour éviter toute confusion pour le lecteur. Si les variables ne sont pas définies, un lecteur peut facilement se perdre en essayant de comprendre vos preuves.
- N'utilisez pas de variables dans votre preuve qui n'ont pas encore été définies.
- Par exemple: les variables sont les mesures de l'angle A et de l'angle B.
Travaillez à rebours sur les preuves. Il est souvent plus facile de réfléchir à un problème en arrière. Commencez par la conclusion, ce que vous essayez de prouver et réfléchissez aux étapes qui peuvent vous ramener au début.
- Modifiez les étapes du début et de la fin pour voir si elles sont similaires. Utilisez les données, les définitions que vous avez apprises et des preuves similaires.
- Posez-vous des questions en cours de route. "Pourquoi est-ce ainsi?" Et "Y a-t-il un moyen que cela soit faux?" Sont de bonnes questions pour toute déclaration ou affirmation.
- N'oubliez pas d'écrire les étapes dans l'ordre pour la preuve finale.
- Par exemple: si les angles A et B sont supplémentaires, alors ensemble, ils doivent être de 180 °. Les deux coins forment ensemble la ligne ABC. Vous savez qu'ils forment une ligne à cause de la définition des paires linéaires. Puisqu'une ligne droite est de 180 °, vous pouvez utiliser la substitution pour prouver que l'angle A et l'angle B s'additionnent jusqu'à 180 °.
Placez vos pas dans un ordre logique. Commencez les preuves au début et progressez jusqu'à la conclusion. Bien qu'il soit utile de réfléchir aux preuves, en commençant par la conclusion et en travaillant à rebours, lorsque vous présentez les preuves réelles, vous placerez la conclusion à la fin. Les déclarations contenues dans la preuve devraient découler les unes des autres, avec une justification pour chaque déclaration, de sorte qu'il n'y ait aucune raison de douter de la validité de votre preuve.
- Commencez par énumérer les hypothèses sur lesquelles vous travaillez.
- Divisez-les en étapes simples et claires pour que le lecteur n'ait pas à se demander comment une étape découle logiquement d'une autre.
- Il n'est pas rare de formuler plusieurs preuves de concept. Continuez à réorganiser jusqu'à ce que toutes les étapes soient dans l'ordre le plus logique.
- Par exemple: commencez par le début.
  - L'angle A et l'angle B forment une paire linéaire.
  - Le coin ABC est droit.
  - L'angle ABC est de 180 °.
  - Angle A + angle B = angle ABC.
  - Angle A + angle B = 180 °.
  - L'angle A est complémentaire à l'angle B.
Évitez d'utiliser des flèches et des abréviations dans les preuves écrites. Lorsque vous décrivez le plan de votre preuve, vous pouvez utiliser la sténographie et les symboles, mais lors de la rédaction de la preuve finale, des symboles, tels que des flèches, peuvent dérouter le lecteur. À la place, utilisez des mots comme «alors» ou «oui».
- Les exceptions pour l'utilisation d'abréviations sont: par exemple (par exemple) et c'est-à-dire (c'est-à-dire), mais assurez-vous de les utiliser correctement.
Soutenez toutes les déclarations avec un théorème (théorème), une loi ou une définition. Les preuves sont aussi bonnes que les preuves utilisées. Vous ne pouvez pas faire une déclaration sans la justifier par une définition. Reportez-vous à d'autres preuves similaires à titre d'exemple.
- Essayez d'appliquer vos preuves à un cas où le faux doit être, et vérifier que c'est bien le cas. Si le résultat n'est pas faux, ajustez la preuve pour qu'elle le soit.
- De nombreuses preuves géométriques sont écrites comme une preuve à deux colonnes, avec l'énoncé et la preuve. Une preuve mathématique formelle destinée à la publication est écrite sous forme de paragraphe avec une grammaire correcte.
Terminez-le par une conclusion ou Q.E.D. La déclaration finale de la preuve doit être l'hypothèse que vous essayiez de prouver. Une fois que vous avez fait cette déclaration, fermez la preuve avec un dernier symbole, tel que Q.E.D. ou un carré plein, pour indiquer que la preuve est complète.
- Q.E.D. signifie "quod erat démonstrandum" (latin pour "ce qui devait être prouvé").
- Si vous n'êtes pas sûr que votre preuve soit correcte, écrivez simplement en quelques phrases votre conclusion et pourquoi elle est significative.