Analyser les équations quadratiques en facteurs - Conseils

Vidéo: Résoudre une équation du second degré , factoriser et déterminer le signe . COURS et EXERCICES

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En maths, analyse factorielle est de trouver des nombres ou des expressions avec le produit d'un nombre ou d'une équation donné. L'analyse factorielle est une compétence utile à apprendre pour résoudre des problèmes algébriques de base: la capacité de bien factoriser est presque critique quand il s'agit de travailler. avec des équations algébriques ou d'autres formes polynomiales. L'analyse factorielle peut être utilisée pour réduire les expressions algébriques, ce qui simplifie le problème. Grâce à lui, vous pouvez même éliminer certaines réponses possibles beaucoup plus rapidement que de les résoudre manuellement.

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Méthode 1 sur 3: Analyser les nombres et les expressions algébriques de base en facteurs

Comprendre la définition de l'analyse factorielle lors de l'application à des nombres uniques. Bien que conceptuellement simple, en pratique, l'application d'équations complexes peut être assez difficile. Par conséquent, l'approche conceptuelle d'analyse factorielle la plus simple consiste à partir de nombres uniques, puis à passer à des équations simples avant de passer à des applications plus avancées. Facteur pour un nombre donné sont des nombres avec le produit du même nombre. Par exemple, 1, 12, 2, 6, 3 et 4 sont des facteurs de 12 car 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4 sont tous égaux à 12.
- En d'autres termes, les facteurs d'un nombre donné sont des nombres est divisé par ce nombre.
- Pouvez-vous trouver le facteur complet de 60? Le nombre 60 est utilisé à de nombreuses fins différentes (minutes dans une heure, secondes dans une minute, etc.) car il est divisible par de nombreux nombres.
  - Le nombre 60 comprend les facteurs suivants: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
Comprenez que les expressions contenant des variables peuvent également être factorisées. Outre les nombres indépendants, les variables à coefficients arithmétiques peuvent également être factorisées. Pour ce faire, il suffit de trouver les facteurs du coefficient de la variable. Savoir comment factoriser l'analyse est très utile dans la transformation d'équations algébriques simples contenant des variables.
- Par exemple, 12x peut être réécrit pour être les résultats de 12 et x. Il est possible d'écrire 12x comme 3 (4x), 2 (6x), etc., et d'utiliser le facteur qui convient le mieux à l'utilisation prévue de 12.
  - Vous pouvez même aller jusqu'à l'analyse 12x à plusieurs reprises. En d'autres termes, il n'est pas nécessaire de s'arrêter à 3 (4x) ou 2 (6x) - nous pouvons analyser 4x et 6x pour obtenir respectivement 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Cette formule est équivalente.
Appliquez les propriétés associatives de multiplication pour factoriser les équations algébriques. En utilisant votre connaissance de l'analyse à la fois des nombres indépendants et des coefficients en facteurs, vous pouvez simplifier les équations algébriques simples en trouvant des facteurs communs des nombres et des variables inclus dans l'équation. Souvent, pour que l'équation soit aussi simple que possible, nous essaierons de trouver le plus grand diviseur commun. Cette simple transformation est possible grâce à la nature associative de la multiplication - pour chaque nombre a, b et c, nous avons: a (b + c) = ab + ac.
- Considérons l'exemple de problème suivant. Pour factoriser l'équation algébrique 12x + 6 en un facteur, nous trouvons d'abord le plus grand diviseur commun de 12x et 6. 6 est le plus grand nombre par lequel 12x et 6 sont divisibles, nous pouvons donc transformer réduisez l'équation à 6 (2x + 1).
- Le même processus s'applique aux équations qui portent des signes négatifs et des fractions. Par exemple, x / 2 + 4 peut être simplement converti en 1/2 (x + 8), et -7x + -21 peut être décomposé en -7 (x + 3).
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Méthode 2 sur 3: Analyse des équations quadratiques en facteurs

Assurez-vous que l'équation est de forme quadratique (ax + bx + c = 0). L'équation quadratique a la forme ax + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes et a est différent de zéro (notez que a peut vaut 1 ou -1). Si l'équation à une variable (x) contient un ou plusieurs termes contenant le carré de x, vous pouvez souvent utiliser l'algèbre de base pour transformer un côté du signe égal en 0 et laisser ax, et ainsi de suite. d'un autre côté.
- Par exemple, l'équation algébrique 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 peut être réduite à x + 6x + 9 = 0, qui est une forme quadratique.
- Équations dans lesquelles x a un exposant plus élevé, tel que x, x, etc. ne peut pas être quadratique. Ils sont quadratiques, quaternaires, ... sauf si l'équation peut être réduite en éliminant les termes qui contiennent les puissances de 3 ou plus de x.
Avec les équations quadratiques, lorsque a = 1, nous nous décomposons en (x + d) (x + e), où d × e = c et d + e = b. Si l'équation quadratique est de la forme x + bx + c = 0 (ou en d'autres termes, si le coefficient de x = 1), il est possible (mais pas sûr) que nous puissions utiliser un calcul relativement rapide. il est simple de factoriser cette équation. Trouvez deux nombres égaux à c et la somme est égale à b. Une fois que vous avez trouvé d et e, remplacez-les par l'expression suivante: (x + d) (x + e). Lorsqu'ils sont multipliés ensemble, ces deux éléments nous donnent l'équation quadratique ci-dessus - en d'autres termes, ce sont des facteurs de l'équation.
- Prenons par exemple l'équation quadratique x + 5x + 6 = 0. 3 et 2 ont un produit de 6 et en même temps, un total de 5. Par conséquent, nous pouvons simplement convertir l'équation en (x + 3) ( x + 2).
- Cette solution rapide de base sera un peu différente lorsque l'équation elle-même est un peu différente:
  - Si l'équation quadratique est de la forme x-bx + c, votre réponse sera de la forme: (x - _) (x - _).
  - Si c'est sous la forme x + bx + c, votre réponse sera: (x + _) (x + _).
  - Si c'est dans x-bx-c, votre réponse sera sous la forme (x + _) (x - _).
- Remarque: dans les espaces peuvent être des fractions ou des décimales. Par exemple, l'équation x + (21/2) x + 5 = 0 se décompose en (x + 10) (x + 1/2).
Si possible, effectuez une analyse factorielle par des tests. Croyez-le ou non, avec l'équation quadratique simple, l'une des méthodes acceptées de factorisation est simplement de regarder le problème, puis de peser toutes les réponses possibles jusqu'à ce qu'un bonne réponse. Elle est également connue sous le nom de méthode de test.Si l'équation a la forme ax + bx + c et a> 1, votre analyse factorielle aura la forme (dx +/- _) (ex +/- _), où d et e sont des constantes l'autre n'est pas égal à a. d ou e (ou les deux) peut égale 1, bien que ce ne soit pas nécessairement le cas. Si les deux sont égaux à 1, vous auriez essentiellement utilisé le travail rapide illustré ci-dessus.
- Considérez l'exemple de problème suivant. À première vue, 3x - 8x + 4 semble assez intimidant. Cependant, une fois que vous réalisez que 3 n'a que deux facteurs (3 et 1), le problème devient plus facile car nous savons que la réponse doit être de la forme (3x +/- _) (x +/- _). Dans ce cas, remplacer -2 par les deux espaces donne la bonne réponse. -2 × 3x = -6x et -2 × x = -2x. -6x et -2x au total égal à -8x. -2 × -2 = 4, on voit donc que les éléments analysés entre parenthèses nous donnent l'équation initiale.
Résolvez le problème en complétant le carré. Dans certains cas, les équations quadratiques peuvent être multipliées rapidement et facilement en utilisant une identité algébrique spéciale. Toute équation quadratique de la forme x + 2xh + h = (x + h). Par conséquent, si dans l'équation, b est le double de la racine carrée de c, l'équation peut être décomposée en (x + (sqrt (c))).
- L'équation x + 6x + 9 fonctionnerait pour ce formulaire, par exemple. 3 est égal à 9 et 3 × 2 est égal à 6. Nous savons donc que la forme de factorisation de cette équation est (x + 3) (x + 3), ou (x + 3).
Résolvez des équations quadratiques avec des facteurs. Dans tous les cas, une fois que l'expression quadratique a été factorisée, vous pouvez trouver une réponse possible à la valeur de x en donnant à chaque facteur zéro et en le résolvant. Puisque vous recherchez la valeur de x telle que l'équation est nulle, tout x qui fait qu'un facteur est nul sera une solution possible à cette équation.
- Revenez à l'équation x + 5x + 6 = 0. Ceci est décomposé en (x + 3) (x + 2) = 0. Lorsqu'un facteur est égal à zéro, l'équation entière devient zéro. Les solutions possibles de x sont les nombres qui rendent (x + 3) et (x + 2) égaux respectivement à 0, -3 et -2.
Vérifiez vos réponses - certaines peuvent être exotiques! Lorsque vous trouvez des solutions possibles de x, remplacez-les par l'équation d'origine pour déterminer si elles sont correctes ou non. Parfois, la réponse le trouve aucun problème fait que l'équation d'origine est nulle lorsqu'elle est remplacée. Nous appelons ces solutions Exotique et les éliminer.
- Remplaçons -2 et -3 pour x + 5x + 6 = 0. Premièrement, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Oui, donc -2 est une solution valide de l'équation.
- Maintenant, essayons avec -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Ceci est également vrai et par conséquent, -3 est également une solution valide de l'équation.
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Méthode 3 sur 3: Analyser d'autres types d'équations en facteurs

Si l'équation est de la forme a-b, décomposez-la en (a + b) (a-b). L'équation à deux variables est analysée différemment de l'équation quadratique fondamentale. Toute équation a-b dans laquelle a et b sont différents de zéro sera décomposée en (a + b) (a-b).
- Par exemple, l'équation 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Si l'équation est de la forme a + 2ab + b, décomposez-la en (a + b). Notez que si le trinôme est sous la forme d'un-2ab + b, la forme de factorisation différera légèrement: (a-b).
- Les équations 4x + 8xy + 4y peuvent être réécrites sous la forme 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Nous voyons maintenant qu'elle est sous la forme correcte et pouvons dire avec certitude que la forme de factorisation de cette équation est (2x + 2y).
Si l'équation est de la forme a-b, décomposez-la en (a-b) (a + ab + b). Enfin, il faut dire que les équations ternaires et même les équations d'ordre supérieur peuvent être factorisées. Cependant, le processus d'analyse deviendra rapidement incroyablement complexe.
- Par exemple, 8x - 27y se décompose en (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
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Conseil

a-b peut être factorisé et a + b ne le peut pas.
Gardez à l'esprit comment factoriser les constantes - cela peut être utile.
Faites attention aux fractions en cours de factorisation, gérez-les correctement et de manière appropriée.
Avec le trident x + bx + (b / 2), sa factorisation serait (x + (b / 2)) (vous pourriez rencontrer cette situation en complétant le carré).
N'oubliez pas que a0 = 0 (propriété multipliée par zéro).