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• Pas
• Partie 1 sur 3: Factorisation des binômes
• Partie 2 sur 3: Factoriser des binômes pour résoudre des équations
• Partie 3 sur 3: Résoudre des problèmes complexes
• Conseils
• Avertissements

Un binôme (binôme) est une expression mathématique avec deux termes entre lesquels il y a un signe plus ou moins, par exemple, ${ displaystyle hache + b}$... Le premier membre inclut la variable et le second l'inclut ou ne l'inclut pas. Factoriser un binôme consiste à trouver des termes qui, une fois multipliés, produisent le binôme d'origine afin de le résoudre ou de le simplifier.

Pas

Partie 1 sur 3: Factorisation des binômes

1. 1 Comprendre les bases du processus d'affacturage. Lors de la factorisation d'un binôme, le facteur qui est un diviseur de chaque terme du binôme d'origine est retiré de la parenthèse. Par exemple, le nombre 6 est complètement divisible par 1, 2, 3, 6. Ainsi, les diviseurs du nombre 6 sont les nombres 1, 2, 3, 6.
   • Diviseurs 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Les diviseurs de tout nombre sont 1 et le nombre lui-même. Par exemple, les diviseurs de 3 sont 1 et 3.
   • Les diviseurs entiers ne peuvent être que des entiers. Le nombre 32 peut être divisé par 3,564 ou 21,4952, mais vous obtenez non pas un nombre entier, mais une fraction décimale.
2. 2 Commandez les termes du binôme pour faciliter le processus d'affacturage. Un binôme est la somme ou la différence de deux termes, dont au moins un contient une variable. Parfois, les variables sont élevées à une puissance, par exemple, ${ style d'affichage x ^ {2}}$ ou alors ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Il est préférable d'ordonner les termes du binôme dans l'ordre croissant des exposants, c'est-à-dire que le terme avec le plus petit exposant est écrit en premier et avec le plus grand - le dernier. Par exemple:
   • ${ style d'affichage 3t + 6}$ → ${ style d'affichage 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ style d'affichage -2 + x ^ {2}}$
     • Remarquez le signe moins devant 2. Si un terme est soustrait, écrivez un signe moins devant.
3. 3 Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux termes. PGCD est le plus grand nombre par lequel les deux membres du binôme sont divisibles. Pour ce faire, trouvez les diviseurs de chaque terme du binôme, puis sélectionnez le plus grand diviseur commun. Par exemple:
   • Une tâche:${ style d'affichage 3t + 6}$.
     • Diviseurs 3: 1, 3
     • Diviseurs 6 : 1, 2, 3, 6.
     • PGCD = 3.
4. 4 Divisez chaque terme du binôme par le plus grand diviseur commun (PGCD). Faites cela pour factoriser le GCD. Notez que chaque membre du binôme décroît (car il est divisible), mais si le PGCD est exclu de la parenthèse, l'expression finale sera égale à l'originale.
   • Une tâche:${ style d'affichage 3t + 6}$.
   • Trouvez le GCD : 3
   • Divisez chaque terme binomial par pgcd :${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Déplacez le diviseur hors des parenthèses. Plus tôt, vous avez divisé les deux termes du binôme par le diviseur 3 et obtenu ${ style d'affichage t + 2}$... Mais vous ne pouvez pas vous débarrasser de 3 - pour que les valeurs des expressions initiale et finale soient égales, vous devez mettre 3 en dehors des parenthèses et écrire l'expression obtenue à la suite de la division entre parenthèses. Par exemple:
   • Une tâche:${ style d'affichage 3t + 6}$.
   • Trouvez le GCD : 3
   • Divisez chaque terme binomial par pgcd :${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multipliez le diviseur par l'expression résultante :${ style d'affichage 3 (t + 2)}$
   • Réponse: ${ style d'affichage 3 (t + 2)}$
6. 6 Vérifie ta réponse. Pour ce faire, multipliez le terme avant les parenthèses par chaque terme à l'intérieur des parenthèses. Si vous obtenez le binôme original, la solution est correcte. Maintenant, résolvez le problème ${ style d'affichage 12t + 18}$:
   • Commander les membres :${ style d'affichage 18 + 12t}$
   • Trouvez le GCD :${ style d'affichage 6}$
   • Divisez chaque terme binomial par pgcd :${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multipliez le diviseur par l'expression résultante :${ style d'affichage 6 (3 + 2t)}$
   • Vérifiez la réponse :${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Partie 2 sur 3: Factoriser des binômes pour résoudre des équations

1. 1 Factoriser le binôme pour le simplifier et résoudre l'équation. À première vue, il semble impossible de résoudre certaines équations (notamment avec des binômes complexes). Par exemple, résolvez l'équation ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$... Il y a des puissances dans cette équation, donc factorisez d'abord l'expression.
   • Une tâche:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Rappelez-vous qu'un binôme a deux membres. Si l'expression comprend plus de termes, apprenez à résoudre des polynômes.
2. 2 Ajoutez ou soustrayez un monôme des deux côtés de l'équation de sorte que zéro reste d'un côté de l'équation. Dans le cas de la factorisation, la solution des équations est basée sur le fait immuable que toute expression multipliée par zéro est égale à zéro. Par conséquent, si nous égalisons l'équation à zéro, alors l'un de ses facteurs doit être égal à zéro. Mettez un côté de l'équation à 0.
   • Une tâche:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Mettre à zéro :${ displaystyle 5a-2a ^ {2} + 3a = -3a + 3a}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Factoriser le bac résultant. Faites-le comme décrit dans la section précédente. Trouvez le plus grand facteur commun (GCD), divisez les deux termes du binôme par celui-ci, puis déplacez le facteur hors des parenthèses.
   • Une tâche:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Mettre à zéro :${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Facteur:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Réglez chaque facteur à zéro. Dans l'expression résultante, 2y est multiplié par 4 - y, et ce produit est égal à zéro. Étant donné que toute expression (ou terme) multipliée par zéro est zéro, alors 2y ou 4 - y est 0. Définissez le monôme et le binôme résultants sur zéro pour trouver "y".
   • Une tâche:${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
   • Mettre à zéro :${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Facteur:${ style d'affichage 2 ans (4 ans) = 0}$
   • Définissez les deux facteurs sur 0 :
     • ${ style d'affichage 2y = 0}$
     • ${ style d'affichage 4-y = 0}$
5. 5 Résolvez les équations résultantes pour trouver la ou les réponses finales. Comme chaque facteur est égal à zéro, l'équation peut avoir plusieurs solutions. Dans notre exemple :
   • ${ style d'affichage 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ style d'affichage 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Vérifie ta réponse. Pour ce faire, remplacez les valeurs trouvées dans l'équation d'origine. Si l'égalité est vraie, alors la décision est correcte. Remplacez les valeurs trouvées au lieu de "y". Dans notre exemple, y = 0 et y = 4 :
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ style d'affichage 0 + 0 = 0}$
     • ${ style d'affichage 0 = 0}$C'est la bonne décision
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ style d'affichage 20-32 = -12}$
     • ${ style d'affichage -12 = -12}$Et c'est la bonne décision

Partie 3 sur 3: Résoudre des problèmes complexes

1. 1 N'oubliez pas qu'un terme avec une variable peut également être factorisé, même si la variable est élevée à une puissance. Lors de la factorisation, vous devez trouver un monôme qui divise intégralement chaque membre du binôme. Par exemple, le monôme ${ style d'affichage x ^ {4}}$ peut être factorisé ${ style d'affichage x * x * x * x}$... C'est-à-dire que si le deuxième terme du binôme contient également la variable « x », alors « x » peut être retiré des parenthèses. Ainsi, traitez les variables comme des entiers. Par exemple:
   • Les deux membres du binôme ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ contiennent "t", donc "t" peut être retiré de la parenthèse : ${ style d'affichage t (2 + t)}$
   • En outre, une variable élevée à une puissance peut être retirée du support. Par exemple, les deux membres du binôme ${ style d'affichage x ^ {2} + x ^ {4}}$ contenir ${ style d'affichage x ^ {2}}$, alors ${ style d'affichage x ^ {2}}$ peut être retiré du support : ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Ajoutez ou soustrayez des termes similaires pour obtenir un binôme. Par exemple, étant donné l'expression ${ style d'affichage 6 + 2x + 14 + 3x}$... À première vue, il s'agit d'un polynôme, mais en fait, cette expression peut être convertie en un binôme. Ajoutez des termes similaires : 6 et 14 (ne contiennent pas de variable) et 2x et 3x (contiennent la même variable « x »). Dans ce cas, le processus d'affacturage sera simplifié :
   • Expression originale :${ style d'affichage 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Commander les membres :${ style d'affichage 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Ajoutez des termes similaires :${ style d'affichage 5x + 20}$
   • Trouvez le GCD :${ style d'affichage 5 (x) +5 (4)}$
   • Facteur:${ style d'affichage 5 (x + 4)}$
3. 3 Factoriser la différence des carrés parfaits. Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un entier, par exemple ${ style d'affichage 9}$${ style d'affichage (3 * 3)}$, ${ style d'affichage x ^ {2}}$${ style d'affichage (x * x)}$ et même ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ style d'affichage (12t * 12t)}$... Si le binôme est la différence de carrés parfaits, par exemple, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, alors il est factorisé par la formule :
   • Formule de différence de carrés :${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
   • Une tâche:${ style d'affichage 4x ^ {2} -9}$
   • Extraire les racines carrées :
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Remplacez les valeurs trouvées dans la formule : ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4. 4 Factorisez la différence entre les cubes complets. Si le binôme est la différence de cubes complets, par exemple, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, puis il est factorisé à l'aide d'une formule spéciale. Dans ce cas, il est nécessaire d'extraire la racine cubique de chaque membre du binôme et de substituer les valeurs trouvées dans la formule.
   • La formule de la différence entre les cubes :${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Une tâche:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extraire les racines cubiques :
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Remplacez les valeurs trouvées dans la formule : ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Factoriser la somme des cubes pleins. Contrairement à la somme des carrés parfaits, la somme des cubes complets, par exemple, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, peut être factorisé à l'aide d'une formule spéciale. C'est similaire à la formule de la différence entre les cubes, mais les signes sont inversés. La formule est assez simple - pour l'utiliser, trouvez la somme des cubes complets du problème.
   • La formule de la somme des cubes :${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Une tâche:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extraire les racines cubiques :
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Remplacez les valeurs trouvées dans la formule : ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Conseils

• Parfois, les membres binomiaux n'ont pas de diviseur commun. Dans certaines tâches, les membres sont présentés sous une forme simplifiée.
• Si vous ne trouvez pas GCD tout de suite, commencez par diviser par de petits nombres. Par exemple, si vous ne voyez pas que le PGCD des nombres 32 et 16 est 16, divisez les deux nombres par 2. Vous obtenez 16 et 8 ; ces nombres peuvent être divisés par 8. Vous obtenez maintenant 2 et 1 ; ces nombres ne peuvent pas être réduits. Ainsi, il est évident qu'il existe un nombre plus grand (par rapport à 8 et 2), qui est le diviseur commun des deux nombres donnés.
• Notez que les termes du sixième ordre (avec un exposant de 6, par exemple x) sont à la fois des carrés parfaits et des cubes parfaits. Ainsi, aux binômes avec des termes du sixième ordre, par exemple, x - 64, on peut appliquer (dans n'importe quel ordre) les formules de la différence des carrés et de la différence des cubes. Mais il vaut mieux d'abord appliquer la formule de la différence des carrés afin de décomposer plus correctement avec un binôme.

Avertissements

• Un binôme, qui est la somme de carrés parfaits, ne peut pas être factorisé.