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• Partie 1 sur 2: Les bases
• Partie 2 sur 2: Transformation matricielle étendue pour résoudre les SLAE
• Conseils

Un système d'équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations qui ont un ensemble commun d'inconnues et, par conséquent, une solution commune. Le graphique du système d'équations linéaires est constitué de deux droites, et la solution du système est le point d'intersection de ces droites. Pour résoudre de tels systèmes d'équations linéaires, il est utile et pratique d'utiliser des matrices.

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Partie 1 sur 2: Les bases

1. 1 Terminologie. Les systèmes d'équations linéaires sont composés de divers composants. Une variable est désignée par un caractère alphabétique (généralement x ou y) et signifie un nombre que vous ne connaissez pas encore et que vous devez trouver. Une constante est un certain nombre qui ne change pas sa valeur.Le coefficient est le nombre devant la variable, c'est-à-dire le nombre par lequel la variable est multipliée.
   • Par exemple, pour une équation linéaire, 2x + 4y = 8, x et y sont des variables, 8 est une constante et les nombres 2 et 4 sont des coefficients.
2. 2 Forme d'un système d'équations linéaires. Un système d'équations algébriques linéaires (SLAE) à deux variables peut s'écrire comme suit : ax + by = p, cx + dy = q. Toutes les constantes (p, q) peuvent être nulles, mais chacune des équations doit contenir au moins une variable (x, y).
3. 3 Expressions matricielles. Tout SLAE peut être écrit sous forme matricielle, puis, en utilisant les propriétés algébriques des matrices, le résoudre. Lors de l'écriture d'un système d'équations sous forme matricielle, A représente les coefficients de la matrice, C représente des matrices constantes et X désigne une matrice inconnue.
   • Par exemple, le SLAE ci-dessus peut être réécrit sous la forme matricielle suivante : A x X = C.
4. 4 Matrice étendue. La matrice étendue est obtenue en transférant la matrice de termes libres (constantes) vers la gauche. Si vous avez deux matrices, A et C, la matrice développée ressemblera à ceci :
   • Par exemple, pour le système d'équations linéaires suivant :
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     La matrice étendue sera 2x3 et ressemblera à ceci :

Partie 2 sur 2: Transformation matricielle étendue pour résoudre les SLAE

1. 1 Opérations élémentaires. Vous pouvez effectuer certaines opérations sur une matrice, obtenant ainsi une matrice équivalente à celle d'origine. De telles opérations sont dites élémentaires. Par exemple, pour résoudre une matrice 2x3, vous devez effectuer des opérations sur les lignes pour amener la matrice sous une forme triangulaire. De telles opérations peuvent être :
   • permutation de deux lignes.
   • multiplier une chaîne par un nombre différent de zéro.
   • multiplier une chaîne et l'ajouter à une autre.
2. 2 Multiplication de la deuxième ligne par un nombre non nul. Si vous voulez zéro sur la deuxième ligne, vous pouvez multiplier la ligne pour le rendre possible.
   • Par exemple, si vous avez une matrice comme celle-ci :
     
     
     Vous pouvez conserver la première ligne et l'utiliser pour obtenir zéro sur la deuxième ligne. Pour ce faire, vous devez d'abord multiplier la deuxième ligne par 2 :
3. 3 Multipliez à nouveau. Pour obtenir zéro pour la première ligne, vous devrez peut-être multiplier à nouveau en utilisant des manipulations similaires.
   • Dans l'exemple ci-dessus, vous devez multiplier la deuxième ligne par -1 :
     
     
     Après multiplication, la matrice ressemblera à ceci :
4. 4 Ajoutez la première ligne à la seconde. Ajoutez les lignes pour obtenir un zéro à la place de la première colonne et de la deuxième ligne.
   • Dans notre exemple, ajoutez les deux lignes pour obtenir ce qui suit :
5. 5 Écrire un nouveau système d'équations linéaires pour une matrice triangulaire. Une fois que vous avez la matrice triangulaire, vous pouvez revenir à SLAE. La première colonne de la matrice correspond à la variable inconnue x, et la seconde correspond à la variable inconnue y. La troisième colonne correspond à l'interception de l'équation.
   • Pour notre exemple, le nouveau système d'équations linéaires prendra la forme :
6. 6 Résoudre l'équation pour l'une des variables. Dans le nouveau SLAE, déterminez quelle variable est la plus facile à trouver et résolvez l'équation.
   • Dans notre exemple, il est plus pratique de résoudre à partir de la fin, c'est-à-dire de la dernière équation à la première, en se déplaçant de bas en haut. À partir de la deuxième équation, nous pouvons facilement trouver une solution pour y, puisque nous nous sommes débarrassés de x, donc y = 2.
7. 7 Trouvez la seconde inconnue par la méthode de substitution. Une fois que vous avez trouvé l'une des variables, vous pouvez la connecter à la deuxième équation pour trouver la deuxième variable.
   • Dans notre exemple, remplacez simplement y par 2 dans la première équation pour trouver l'inconnu x :

Conseils

• Les éléments matriciels sont communément appelés scalaires.
• Pour résoudre une matrice 2x3, vous devez effectuer des opérations élémentaires sur les lignes. Vous ne pouvez pas effectuer ces opérations sur les colonnes.