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• Avancer d'un pas

Une équation trigonométrique est une équation avec une ou plusieurs fonctions trigonométriques de la courbe trigonométrique variable x. Résoudre pour x signifie trouver les valeurs des courbes trigonométriques dont les fonctions trigonométriques font que l'équation trigonométrique est vraie.

• Les réponses, ou valeurs, des courbes de solution sont exprimées en degrés ou en radians. Exemples:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 degrés; x = 37,12 degrés; x = 178,37 degrés

• Remarque: Sur le cercle unitaire, les fonctions trigonométriques de toute courbe sont égales aux fonctions trigonométriques de l'angle correspondant. Le cercle unitaire définit toutes les fonctions trigonométriques de la courbe variable x. Il est également utilisé comme preuve dans la résolution d'équations et d'inégalités trigonométriques de base.
• Exemples d'équations trigonométriques:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Le cercle unitaire.
   • C'est un cercle avec Radius = 1, où O est l'origine. Le cercle unitaire définit 4 fonctions trigonométriques principales de la courbe variable x, qui l'entoure dans le sens antihoraire.
   • Lorsque la courbe de valeur x varie sur le cercle unitaire, alors tient:
   • L'axe horizontal OAx définit la fonction trigonométrique f (x) = cos x.
   • L'axe vertical OBy définit la fonction trigonométrique f (x) = sin x.
   • L'axe vertical AT définit la fonction trigonométrique f (x) = tan x.
   • L'axe horizontal BU définit la fonction trigonométrique f (x) = cot x.

• Le cercle unitaire est également utilisé pour résoudre des équations trigonométriques de base et des inégalités trigonométriques standard en considérant les différentes positions de la courbe x sur le cercle.

Avancer d'un pas

1. Comprenez la méthode de la solution.
   • Pour résoudre une équation trigonométrique, vous la convertissez en une ou plusieurs équations trigonométriques de base. La résolution d'équations trigonométriques aboutit finalement à la résolution de 4 équations trigonométriques de base.
2. Savoir résoudre les équations trigonométriques de base.
   • Il existe 4 équations trigonométriques de base:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; cot x = a
   • Vous pouvez résoudre les équations trigonométriques de base en étudiant les différentes positions de la courbe x sur le cercle trigonométrique et en utilisant une table de conversion trigonométrique (ou calculatrice). Pour bien comprendre comment résoudre ces équations trigonométriques de base et d'autres similaires, lisez le livre suivant: «Trigonométrie: résolution d'équations et d'inégalités trigonométriques» (Amazon E-book 2010).
   • Exemple 1. Résolvez pour sin x = 0,866. La table de conversion (ou calculatrice) donne la réponse: x = Pi / 3. Le cercle trigonométrique donne une autre courbe (2Pi / 3) avec la même valeur pour le sinus (0,866). Le cercle trigonométrique fournit également une infinité de réponses appelées réponses étendues.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi et x2 = 2Pi / 3. (Réponses dans un délai (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi et x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Réponses détaillées).
   • Exemple 2. Résoudre: cos x = -1/2. Les calculatrices donnent x = 2 Pi / 3. Le cercle trigonométrique donne également x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi et x2 = - 2Pi / 3. (Réponses pour la période (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi et x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Réponses étendues)
   • Exemple 3. Résoudre: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Répondre)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Réponse étendue)
   • Exemple 4. Résoudre: cot 2x = 1,732. Les calculatrices et le cercle trigonométrique donnent:
   • x = Pi / 12; (Répondre)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Réponses étendues)
3. Apprenez les transformations utilisées pour résoudre les équations trigonométriques.
   • Pour convertir une équation trigonométrique donnée en équations trigonométriques standard, utilisez les conversions algébriques standards (factorisation, facteur commun, polynômes ...), les définitions et propriétés des fonctions trigonométriques et les identités trigonométriques. Il y en a environ 31, dont 14 sont des identités trigonométriques, de 19 à 31, également appelées identités de transformation, car elles sont utilisées dans la conversion d'équations trigonométriques. Voir le livre ci-dessus.
   • Exemple 5: L'équation trigonométrique: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 peut être convertie en un produit d'équations trigonométriques de base en utilisant les identités trigonométriques: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Les équations trigonométriques de base à résoudre sont: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; et cos (x / 2) = 0.
4. Trouvez les courbes pour lesquelles les fonctions trigonométriques sont connues.
   • Avant de pouvoir apprendre à résoudre des équations trigonométriques, vous devez savoir comment trouver rapidement les courbes pour lesquelles les fonctions trigonométriques sont connues. Les valeurs de conversion des courbes (ou angles) peuvent être déterminées avec des tables trigonométriques ou la calculatrice.
   • Exemple: résoudre pour cos x = 0,732. La calculatrice donne la solution x = 42,95 degrés. Le cercle unitaire donne d'autres courbes avec la même valeur pour le cosinus.
5. Tracez l'arc de la réponse sur le cercle unitaire.
   • Vous pouvez créer un graphique pour illustrer la solution sur le cercle unitaire. Les points d'extrémité de ces courbes sont des polygones réguliers sur le cercle trigonométrique. Quelques exemples:
   • Les extrémités de la courbe x = Pi / 3 + k. Pi / 2 est un carré sur le sur le cercle unitaire.
   • Les courbes de x = Pi / 4 + k.Pi / 3 sont représentées par les coordonnées d'un hexagone sur le cercle unité.
6. Apprenez à résoudre des équations trigonométriques.
   • Si l'équation trigonométrique donnée ne contient qu'une seule fonction trigonométrique, résolvez-la comme une équation trigonométrique standard. Si l'équation donnée contient au moins deux fonctions trigonométriques, il existe 2 méthodes de résolution, en fonction des options de conversion de l'équation.
     • A. Méthode 1.
   • Convertissez l'équation trigonométrique en un produit de la forme: f (x) .g (x) = 0 ou f (x) .g (x) .h (x) = 0, où f (x), g (x) et h (x) sont des équations trigonométriques de base.
   • Exemple 6. Résoudre: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solution. Remplacez sin 2x dans l'équation en utilisant l'identité: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ensuite, résolvez 2 fonctions trigonométriques standard: cos x = 0, et (sin x + 1) = 0.
   • Exemple 7. Résoudre: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solution: Convertissez ceci en produit, en utilisant les identités trigonométriques: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Maintenant, résolvez les 2 équations trigonométriques de base: cos 2x = 0 et (2cos x + 1) = 0.
   • Exemple 8. Résoudre: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Solution: Convertissez ceci en un produit, en utilisant les identités trigonométriques: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Maintenant, résolvez les 2 équations trigonométriques de base: cos 2x = 0, et (2sin x + 1) = 0.
     • B. Approche 2.
   • Convertit l'équation trig en une équation trig avec une seule fonction trigonométrique comme variable. Il existe quelques conseils sur la manière de choisir une variable appropriée. Les variables communes sont: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t et tan (x / 2) = t.
   • Exemple 9. Résoudre: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Solution. Dans l'équation, remplacez (cos ^ 2x) par (1 - sin ^ 2x) et simplifiez l'équation:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Maintenant, utilisez sin x = t. L'équation devient: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. C'est une équation quadratique à 2 racines: t1 = -1 et t2 = 9/5. Nous pouvons rejeter le second t2, car> 1. Résolvez maintenant pour: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Exemple 10. Résoudre: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Solution. Utilisez tan x = t. Convertissez l'équation donnée en une équation avec t comme variable: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Résolvez pour t à partir de ce produit, puis résolvez l'équation trigonométrique standard tan x = t pour x.
7. Résolvez des équations trigonométriques spéciales.
   • Il existe quelques équations trigonométriques spéciales qui nécessitent des conversions spécifiques. Exemples:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Apprenez les propriétés périodiques des fonctions trigonométriques.
   • Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie qu'elles reviennent à la même valeur après une rotation sur une période. Exemples:
     • La fonction f (x) = sin x a 2Pi comme période.
     • La fonction f (x) = tan x a Pi comme période.
     • La fonction f (x) = sin 2x a Pi comme période.
     • La fonction f (x) = cos (x / 2) a 4Pi comme période.
   • Si la période est spécifiée dans les exercices / test, il vous suffit de trouver la (les) courbe (s) x dans cette période.
   • REMARQUE: La résolution d'équations trigonométriques est délicate et conduit souvent à des erreurs et des erreurs. Par conséquent, les réponses doivent être soigneusement vérifiées. Après la résolution, vous pouvez vérifier les réponses à l'aide d'une calculatrice graphique, pour une représentation directe de l'équation trigonométrique donnée R (x) = 0. Les réponses (en tant que racine carrée) sont données en décimales. A titre d'exemple, Pi a une valeur de 3,14