Trouvez l'inverse de la matrice 3x3 - Conseils

Vidéo: comment calculer l’inverse d’une matrice 3x3

Contenu

Pas
Conseil
avertissement

L'inversion est souvent utilisée dans le calcul pour simplifier les problèmes problématiques par d'autres moyens. Par exemple, il est plus facile de multiplier avec l'inverse d'une fraction que de la diviser directement par ce nombre. C'est l'inverse. De même, comme il n'y a pas de signe de fraction pour la matrice, vous devrez multiplier sa matrice inverse. Le calcul de la matrice inverse d'une matrice 3x3 peut être très fastidieux, mais c'est un problème à considérer. Vous pouvez également utiliser une calculatrice graphique avancée pour ce faire.

Pas

Méthode 1 sur 3: Créez une matrice supplémentaire pour trouver la matrice inverse

Vérifiez le déterminant de la matrice. La première étape: trouver le déterminant de la matrice. Si le déterminant est 0, c'est fait: cette matrice n'est pas réversible. Le déterminant d'une matrice M peut être noté det (M).
- Pour trouver l'inverse d'une matrice 3x3, vous devez d'abord calculer son déterminant.
- Pour découvrir comment trouver le déterminant d'une matrice, reportez-vous à l'article Recherche des déterminants de la matrice 3x3.
Transposition originale de la matrice. La transposition signifie refléter la matrice sur la diagonale principale, ou en d'autres termes, permuter l'élément (i, j) et l'élément (j, i). Lors de la transposition d'éléments d'une matrice, la diagonale principale (allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit) reste constante.
- Une autre façon de comprendre la transposition consiste à réécrire la matrice de sorte que la première ligne devienne la première colonne, la ligne du milieu la colonne du milieu et la troisième ligne la troisième colonne. Prenez note des éléments de couleur dans l'illustration ci-dessus et notez la nouvelle position des nombres.
Trouvez le déterminant de chaque sous-matrice 2x2. Tous les éléments de la nouvelle matrice de déplacement 3x3 sont liés à une matrice «sous» 2x2 correspondante. Pour trouver la sous-matrice de chaque élément, mettez d'abord en surbrillance la ligne et la colonne du premier élément. Les 5 éléments seront mis en évidence. Les quatre éléments restants forment la sous-matrice.
- Dans l'exemple ci-dessus, si vous souhaitez rechercher la sous-matrice de l'élément dans la deuxième ligne, colonne un, vous mettez en surbrillance cinq parties de mots dans la deuxième ligne et la première colonne. Les quatre éléments restants constituent la sous-matrice correspondante.
- Trouvez le déterminant de chaque sous-matrice en multipliant en diagonale et en soustrayant deux produits l'un de l'autre, comme le montre la figure ci-dessus.
- Lisez la suite pour en savoir plus sur les sous-matrices et leurs utilisations.
Faites une matrice de sous-sections algébriques. Placez le résultat obtenu à l'étape précédente dans une nouvelle matrice composée de sous-sections algébriques en plaçant chaque déterminant de sous-matrice à la position correspondante dans la matrice d'origine. Ainsi, le déterminant calculé à partir de l'élément (1,1) de la matrice d'origine sera placé en position (1,1). Ensuite, vous devrez changer le signe de remplacement de cette nouvelle matrice en fonction du tableau de référence présenté dans l'illustration ci-dessus.
- Lors de la détermination du signe, la marque de la première molécule de tête est conservée. Le signe du deuxième élément est inversé. Le signe du troisième élément est conservé. Continuez ainsi pour le reste de la matrice. Notez que le signe (+) ou (-) dans le tableau de référence n'indique pas que jusqu'à la fin, l'élément portera un signe positif ou négatif. Ils montrent seulement que les éléments seront conservés intacts (+) ou modifiés avec (-).
- Reportez-vous aux bases de la matrice pour plus d'informations sur les appendices algébriques.
- Le résultat final que nous obtenons à cette étape est la matrice complémentaire de la matrice d'origine. Elle est parfois aussi appelée matrice conjuguée et est notée Adj (M).
Divisez tous les éléments de la matrice du complément par le déterminant. Utilisez le déterminant de la matrice M que vous avez calculé à la première étape (pour vérifier si la matrice est réversible). Divisez maintenant chaque élément de la matrice par cette valeur. Mettez le quotient de chaque division dans la position de l'élément d'origine, et nous obtenons la matrice inverse de la matrice d'origine.
- L'échantillon de matrice présenté dans l'illustration a un déterminant de 1. Par conséquent, lorsque nous divisons tous les éléments de la matrice complémentaire par le déterminant, nous obtenons lui-même (vous ne serez pas toujours aussi chanceux). .
- Au lieu de diviser, certains documents démontrent cette étape comme multipliant chaque élément de M par 1 / det (M). Mathématiquement, ils sont équivalents.
publicité

Méthode 2 sur 3: Diminuez la ligne linéaire pour trouver la matrice inverse

Ajoutez la matrice d'unité à la matrice d'origine. Écrivez la matrice de base M, tracez une ligne verticale à droite de cette matrice, puis écrivez la matrice unitaire à droite de cette ligne. À ce stade, nous avons une matrice avec trois lignes et six colonnes.
- Rappelez-vous que la matrice d'identité est une matrice spéciale avec tous les éléments sur la diagonale principale, allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, égal à 1 et tous les éléments dans les positions de repos égal à zéro.
Effectuez une réduction de ligne linéaire. Le but ici est de créer la matrice unitaire dans la partie gauche de la matrice nouvellement développée. Lorsque vous effectuez les étapes de réduction de ligne à gauche, vous devez effectuer la partie correspondante à droite - la partie qui est votre matrice d'unité.
- N'oubliez pas que la réduction de ligne est effectuée comme une combinaison de multiplication scalaire et d'addition ou de soustraction de lignes, afin d'isoler les éléments individuels de la matrice.
Continuez jusqu'à ce que la matrice unitaire soit formée. Continuez la réduction linéaire jusqu'à ce que la matrice d'identité apparaisse (les éléments sur la diagonale sont égaux à 1, les autres éléments sont égaux à 0) dans la partie gauche de la matrice développée. Une fois cette étape atteinte, la partie droite du diviseur vertical est la matrice inverse de la matrice d'origine.
Réécrivez la matrice inverse. Dupliquez les éléments actuellement sur la partie droite du diviseur vertical et c'est votre matrice inverse. publicité

Méthode 3 sur 3: Trouvez la matrice inverse avec la calculatrice de poche

Choisissez une calculatrice capable de résoudre des matrices. Une simple calculatrice à quatre fonctions ne pourra pas trouver la matrice inverse directement pour vous. Cependant, en raison de la répétition mathématique, une calculatrice graphique avancée, telle que la Texas Instruments TI-83 ou TI-86, peut considérablement réduire votre travail à effectuer.
Entrez la matrice dans la calculatrice. Tout d'abord, entrez dans la fonction Matrix de votre calculatrice en appuyant sur la touche Matrix, si elle est disponible sur votre appareil. Avec la machine Texas Instruments, vous devrez appuyer sur 2 Matrix.
Sélectionnez le sous-menu Modifier. Pour accéder à ce sous-menu, vous devrez peut-être utiliser les boutons fléchés ou sélectionner les touches de fonction appropriées situées dans la rangée supérieure du clavier de l'ordinateur, selon sa conception.
Choisissez un nom pour votre matrice. La plupart des calculatrices de poche sont équipées pour fonctionner avec 3 à 10 matrices, nommées lettres, A à J. Normalement, commençons par. Appuyez sur la touche Entrée pour confirmer la sélection du nom.
Entrez la taille de la matrice. Cet article se concentre sur les matrices 3x3. Cependant, les calculatrices de poche peuvent gérer des matrices plus grandes. Entrez le nombre de lignes, appuyez sur Entrée, puis tapez le numéro de colonne et appuyez sur Entrée.
Entrez chaque élément de la matrice. Une matrice sera affichée sur l'écran de l'ordinateur. Si vous avez déjà travaillé avec la fonction de matrice, la matrice avec laquelle vous avez travaillé auparavant apparaîtra à l'écran. Le curseur marquera le premier élément de la matrice. Saisissez la valeur de la matrice que vous souhaitez résoudre et appuyez sur Entrée. Le curseur passera automatiquement à l'élément suivant, écrasant toutes les valeurs précédentes.
- Si vous souhaitez saisir des nombres négatifs, utilisez le bouton négatif (-) de votre calculatrice, et non la touche moins. La fonction de matrice ne lira pas correctement.
- Si nécessaire, vous pouvez utiliser les touches fléchées de votre calculatrice pour vous déplacer dans la matrice.
Quittez la fonction de matrice. Après avoir entré la valeur de la matrice entière, appuyez sur la touche Quitter - Quitter (ou 2 Quitter, si nécessaire). Grâce à cela, vous quittez la fonction Matrix et revenez à l'écran d'affichage principal de la calculatrice.
Utilisez la touche inverse pour trouver la matrice inverse. Tout d'abord, rouvrez la fonction Matrice et utilisez le bouton Noms pour sélectionner le nom de matrice que vous avez utilisé pour donner à votre matrice (cela peut être). Ensuite, appuyez sur la touche inverse de la calculatrice. Selon votre appareil, vous devrez peut-être utiliser le bouton 2. L'écran d'affichage apparaît. Appuyez sur Entrée et la matrice inverse apparaîtra sur votre écran.
- N'utilisez pas le bouton ^ de votre ordinateur lorsque vous essayez de saisir A ^ -1 avec des clics individuels. Les ordinateurs ne comprendront pas ce calcul.
- Si vous obtenez un message d'erreur lorsque vous appuyez sur la touche inverse, il est plus probable que votre matrice parente ne soit pas réversible. Vous devriez peut-être revenir en arrière et être qualitatif pour déterminer si c'est la cause de l'erreur.
Convertissez la matrice inverse en la bonne réponse. Le premier résultat renvoyé par l'ordinateur est affiché en décimal. Ce n'est pas nécessairement la réponse «correcte» dans la plupart des cas. Vous devez convertir cette réponse décimale en fraction si nécessaire (si vous avez de la chance, tous vos résultats sont des entiers. Cependant, c'est très rare).
- Peut-être que votre calculatrice a une fonction qui convertit automatiquement les décimales en fractions. Par exemple, lorsque vous utilisez la TI-86, vous pouvez accéder à la fonction Math, sélectionner Misc puis Frac et appuyer sur Entrée. Les décimales seront automatiquement représentées sous forme de fractions.
La plupart des calculatrices graphiques ont des crochets (pour la TI-84, c'est 2nd + x et 2nd + -) qui vous permettent de saisir une matrice sans utiliser de fonction de matrice. Remarque: Une calculatrice peut ne pas formater une matrice tant que la touche entrée / égal n'est pas utilisée (ce qui signifie que tout sera sur la même ligne et pas très agréable). publicité

Conseil

Vous pouvez suivre ces étapes pour trouver l'inverse d'une matrice qui contient non seulement des nombres mais également des variables, des inconnues ou même des expressions algébriques.
Notez toutes les étapes, car trouver l'inverse d'une matrice 3x3 simplement en faisant des maths est extrêmement difficile.
Il existe des programmes de calcul qui vous aident à trouver des matrices inverses, jusqu'à 30x30 inclus.
Quelle que soit la méthode utilisée, vérifiez l'exactitude du résultat en multipliant M par M. Vous confirmerez que M * M = M * M = I. Où, I est la matrice unitaire , est composé de 1 éléments situés le long de la diagonale principale et de zéros ailleurs. Si vous n'obtenez pas de tels résultats, vous devez vous être trompé quelque part.